.Problema de Gincana: O volume de uma caixa

Problema

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Uma caixa retangular tem suas medidas dadas por números inteiros na razão [tex]1:3:4[/tex].
Qual das seguintes opções pode representar o volume da caixa?
(a) [tex]48[/tex]
(b) [tex]56[/tex]
(c) [tex]96[/tex]
(d) [tex]144[/tex]
(e) Nenhuma das alternativas anteriores

Solução

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Seja [tex]x[/tex] a medida do menor comprimento da caixa. Então, seu volume é dado por [tex]x \cdot 3x \cdot 4x =12x^3[/tex].
Testando cada uma das opções, vemos que se [tex]12x^3 = 96[/tex], então [tex]x=2[/tex] e [tex]2[/tex] é um número inteiro. No entanto, todas as outras opções nos dão comprimentos possíveis que não são números inteiros.
Com efeito:
• Se o volume fosse [tex]48[/tex], então [tex]12x^3 = 48[/tex] e [tex]x^3 = 4[/tex]. Mas [tex]\sqrt[3]{4} \not \in \mathbb{Z}.[/tex]

• Se o volume fosse [tex]56[/tex], então [tex]12x^3 = 56[/tex] e [tex]x^3 = \dfrac{14}{3}[/tex]. Mas [tex]\sqrt[3]{\dfrac{14}{3}} \not \in \mathbb{Z}.[/tex]

• Se o volume fosse [tex]144[/tex], então [tex]12x^3 = 144[/tex] e [tex]x^3 = 12[/tex]. Mas [tex]\sqrt[3]{12} \not \in \mathbb{Z}.[/tex]

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.