.Problema de Gincana: ab = a – b

Problema

Dois números reais não nulos

$a$ e

$b$ satisfazem a igualdade

$\, ab = a-b$ .
Qual é, então, o possível valor de

$\, \boxed{\dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{a}-ab }\,$ ?

Solução

Como

$\color{red}{\, ab = a-b}$ , temos que

$\qquad \begin{align*}\dfrac {a}{b} + \dfrac {b}{a}-ab \, &= \, \dfrac{a^2 + b^2}{\color{red}{ab}}-\color{red}{ab} \, \\ &= \, \dfrac{a^2 + b^2}{\color{red}{a-b}}-\color{red}{(a-b)} \, \\ &= \, \dfrac{a^2 + b^2}{a-b}-(a-b)\cdot \dfrac{(a-b)}{(a-b)} \, \\ &= \, \dfrac{a^2 + b^2}{a-b}-\dfrac{(a-b)^2}{a-b} \, \\ &= \, \dfrac{a^2 + b^2-(a-b)^2}{a-b} \, \\ &= \, \dfrac{a^2 + b^2-(a^2-2ab+b^2)}{a-b} \, \\ &= \, \dfrac{2ab}{\color{red}{a-b}} \, \\ &= \, \dfrac{2ab}{\color{red}{ab}} \, \\ &= \, 2.\end{align*}$
Assim,