Problema
Se [tex]n[/tex] é um múltiplo positivo qualquer de [tex]28[/tex], então o algarismo das unidades do número [tex]\, 4^n+5^n+6^n+7^n\, [/tex] é:
a) [tex]4[/tex].
b) [tex]5[/tex].
c) [tex]6[/tex].
d) [tex]7[/tex].
e) [tex]8[/tex].
Solução
Observe que as potências inteiras de [tex]4[/tex] têm um ciclo de alternância para o algarismo das unidades que se repete de [tex]2[/tex] em [tex]2[/tex]:
[tex]4^1=4[/tex]
[tex]4^2=16[/tex]
[tex]4^3=64[/tex]
[tex]4^4=256…[/tex]
- Logo, para todo inteiro positivo [tex]n[/tex] par, o algarismo das unidades de [tex]4^n[/tex] será [tex]6[/tex].
Da mesma forma, as potências inteiras de [tex]7[/tex] têm um ciclo de alternância para o algarismo das unidades que, agora, se repete de [tex]4[/tex] em [tex]4[/tex]:
[tex]7^1=7[/tex]
[tex]7^2=49[/tex]
[tex]7^3=343[/tex]
[tex]7^4=2401[/tex]
[tex]7^5=16807…[/tex]
- Logo, para todo inteiro positivo [tex]n[/tex] múltiplo de [tex]4[/tex], o algarismo das unidades de [tex]7^n[/tex] será [tex]1[/tex].
- As potências inteiras de [tex]5[/tex] e [tex]6[/tex] terão sempre os algarismos das unidades iguais a [tex]5[/tex] e [tex]6[/tex], respectivamente.
Agora, se [tex]n[/tex] é um múltiplo qualquer de [tex]28[/tex], também será múltiplo de [tex]2[/tex] e [tex]4[/tex]; logo, o algarismo das unidades do número [tex]4^n+5^n+6^n+7^n[/tex] é o algarismo das unidades da soma [tex]6+5+6+1[/tex], ou seja, [tex]8[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Segunda Gincana de 2014 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Média
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