Problema
Quantos números inteiros entre 10 e 10.000 possuem seus dígitos em ordem estritamente crescente?
(a) [tex]310[/tex].
(b) [tex]420[/tex].
(c) [tex]246 [/tex].
(d) [tex]144 [/tex].
(e) Nenhuma das alternativas anteriores.
Solução
Queremos formar números cujos algarismos estão em ordem estritamente crescente; portanto, basta escolher os algarismos distintos a utilizar, já que o posicionamento deles em ordem crescente será único. Vamos, então, contar as escolhas.
- Grupo I: Números com dois dígitos
Há [tex]C_9^2 = \dfrac{9!}{2! \cdot 7!} = 36[/tex] números.
- Grupo II: Números com três dígitos
Há [tex]C_9^3 = \dfrac{9!}{3! \cdot 6!} = 84[/tex] números.
- Grupo III: Números com quatro dígitos
Há [tex]C_9^4 = \dfrac{9!}{4! \cdot 5!} = 126[/tex] números.
Utilizando o Princípio Aditivo, conclui-se que há [tex]\boxed{36 + 84 + 126 = 246}[/tex] números com dígitos em ordem estritamente crescente.
✏ Princípio Aditivo, para três eventos: Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- um evento E3 puder ocorrer de [tex]m_3 [/tex] maneiras,
e esses eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que ocorre um dos três eventos (E1 ou E2 ou E3) é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1+ m_2 + m_3 }\, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Segunda Gincana de 2014 – Clubes de Matemática da OBMEP
Nível C – Questão Fácil
Nível C – Questão Fácil