.Problema de Gincana: Uma fração e sua inversa

Problema

Qual o número que devemos somar ao numerador e subtrair do denominador da fração $\dfrac{1478}{5394}$ para transformá-la na sua inversa?

(a) $6872$
(b) $3916$
(c) $2438$
(d) $960$
(e) $854$

Solução

Basta calcular $5394-1478=3916.$
Veja:
$\qquad \dfrac{1478+3916}{5394-3916}=\dfrac{5394}{1478}$

e a fração $\dfrac{5394}{1478}$ é a inversa de $\dfrac{1478}{5394}.$

• Se $\dfrac{1478+a}{5394-a}=\dfrac{5394}{1478}$, segue que:
  $~~\\ \qquad \left(1478+a \right)\cdot 1478=\left(5394-a \right)\cdot 5394\\ \qquad 1478^2+1478a=5394^2-5394 a\\ \qquad 5394 a+1478a=5394^2-1478^2\\ \qquad 6872a=26\,910\,752\\ \qquad a=\dfrac{26\,910\,752}{6872}\\ \qquad \boxed{a=3916}.$

Não quer fazer muitas contas?
Então, perceba que, de $5394 a+1478a=5394^2-1478^2$, segue que:
$~~\\ \qquad \left(5394+1478\right) \cdot a=\left(5394+1478\right)\cdot \left(5394-1478\right)\\ \qquad \cancel{\left(5394+1478\right)} \cdot a=\cancel{\left(5394+1478\right)}\cdot \left(5394-1478\right)\\ \qquad a=5394-1478\\ \qquad \boxed{a=3916}.$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.