.Problema de Gincana: Uma soma de frações

Problema

Sabendo que
[tex]\qquad \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}=\dfrac{11-10}{10 \times 11}=\dfrac{1}{10 \times 11}[/tex],
o valor da soma
[tex]\quad S=\dfrac{1}{10 \times 11}+\dfrac{1}{11 \times 12}+ \ldots +\dfrac{1}{19 \times 20}[/tex]
é:

A) [tex]\dfrac{1}{10}[/tex].

B) [tex]\dfrac{5}{20}[/tex].

C) [tex]\dfrac{2}{5}[/tex].

D) [tex]\dfrac{1}{20}[/tex].

E) Nenhuma das respostas anteriores.

Solução

Podemos generalizar o raciocínio explicitado na hipótese. Assim, se [tex]n[/tex] é um inteiro positivo, temos que:

[tex]\quad\qquad \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{(n+1)-n}{n \times (n+1)}=\dfrac{1}{n \times (n+1)}[/tex].
Dessa forma, aplicando a igualdade obtida em cada parcela da soma [tex]S[/tex], segue que:
[tex]\quad S=\dfrac{1}{10 \times 11}+\dfrac{1}{11 \times 12}+ \ldots +\dfrac{1}{19 \times 20}[/tex]
[tex]\quad S=\left[\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}\right]+\left[\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}\right]+\left[\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{13}\right]+ \ldots +\left[\dfrac{1}{19}-\dfrac{1}{20}\right][/tex]
[tex]\quad S=\dfrac{1}{10}+\left[-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}\right]+\left[-\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}\right]+ \ldots +\left[-\dfrac{1}{19}+\dfrac{1}{19}\right]-\dfrac{1}{20}[/tex]
[tex]\quad S=\dfrac{1}{10}+0+0+ \ldots +0-\dfrac{1}{20}[/tex]
[tex]\quad S=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{20}[/tex]
[tex]\quad S=\dfrac{20-10}{10\times 20}[/tex]
[tex]\quad S=\dfrac{10}{200}[/tex]
[tex]\quad S=\dfrac{1}{20}[/tex].

Portanto:
[tex]\qquad\qquad S=\dfrac{1}{10 \times 11}+\dfrac{1}{11 \times 12}+ \ldots +\dfrac{1}{19 \times 20}=\dfrac{1}{20}.[/tex]

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