Problema
Um professor elaborou uma prova com cinco questões, cada uma valendo [tex]2[/tex] pontos.
A soma dos pontos obtidos em cada questão era a nota do aluno na prova e o professor não considerou nenhuma solução parcialmente correta.
Sabendo que [tex]30\%[/tex], [tex]10\%[/tex], [tex]60\%[/tex], [tex]80\%[/tex] e [tex]40\%[/tex] são as porcentagens de acerto em cada questão, determine a média das notas dos alunos nessa prova.
Solução
Seja [tex]n[/tex] o número de alunos que fizeram a prova.
A nota média [tex]N[/tex] dos alunos é calculada por
[tex]\qquad \qquad N = \dfrac{0,3 \cdot n \cdot 2 + 0,1 \cdot n \cdot 2 + 0,6 \cdot n \cdot 2 + 0,8 \cdot n \cdot 2 + 0,4 \cdot n \cdot 2}{n}[/tex]
[tex]\qquad \qquad N = \dfrac{4,4n}{n} = 4,4[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Tentando entender…
A solução parece curta; mas, se você não entendeu de fato o problema, a solução apresentada não tem o menor sentido, não é?
Então vamos tentar entender como se chega à expressão
[tex]\qquad \qquad N = \dfrac{0,3 \cdot n \cdot 2 + 0,1 \cdot n \cdot 2 + 0,6 \cdot n \cdot 2 + 0,8 \cdot n \cdot 2 + 0,4 \cdot n \cdot 2}{n}[/tex].
Se você soubesse a nota de cada aluno, certamente você saberia resolver o problema, não é?
Bastaria somar as [tex]n[/tex] notas e dividir a soma por [tex]n[/tex]:
[tex] \qquad N= \dfrac{N_1+N_2+ \cdots +N_n}{n}, \qquad \qquad (i)[/tex]
onde [tex] N_1, \, N_2, \, \cdots , \, N_n[/tex] são, respectivamente, as notas do aluno 1, aluno 2, … , aluno n.
Vamos, então, calcular as notas de cada aluno; e para isso utilizaremos a notação [tex]x_y[/tex] para indicar a nota que o aluno [tex]x[/tex] tirou na questão [tex]y[/tex] (por exemplo, [tex]2_4[/tex] indica a nota que o aluno [tex]2[/tex] tirou na quarta prova). Com isso [tex]x=1, \, 2, \, 3, \, \cdots , \, n \, [/tex] e [tex]y=1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5[/tex].
Explicitando alguns exemplos:
- Nota da prova do aluno 1: [tex]N_1= 1_1+1_2+1_3+1_4+1_5[/tex];
- Nota da prova do aluno 2: [tex]N_2= 2_1+2_2+2_3+2_4+2_5[/tex];
- Nota da prova do aluno 3: [tex]N_3= 3_1+3_2+3_3+3_4+3_5[/tex];
[tex]\qquad \qquad \vdots[/tex] - Nota da prova do aluno n: [tex]N_n= n_1+n_2+n_3+n_4+n_5[/tex].
Dessa forma, por [tex](i)[/tex],
[tex]\;N= \dfrac{\left(1_1+1_2+1_3+1_4+1_5\right)+\left(2_1+2_2+2_3+2_4+2_5\right)+ \cdots +\left(n_1+n_2+n_3+n_4+n_5\right)}{n}[/tex]
e, reescrevendo a igualdade de uma maneira diferente, temos que:
[tex]\;N= \dfrac{\left(1_1+2_1+ \cdots +n_1\right)+\left(1_2+2_2+ \cdots +n_2\right)+ \cdots +\left(1_5+2_5+ \cdots +n_5\right)}{n}\qquad (ii)[/tex].
Vamos agora analisar cada um dos cinco parêntesis que compõem a soma do numerador da igualdade anterior. Para isso, devemos lembrar que o professor atribui apenas duas pontuações para cada questão: zero, se a questão estava errada; e dois, se a questão estava correta. Desta maneira, para cada parêntesis, basta sabermos quantos alunos acertaram a respectiva questão e multiplicar esse número por [tex]2[/tex].
Mas o enunciado do problema nos fornece esses dados, já que [tex]30\%[/tex], [tex]10\%[/tex], [tex]60\%[/tex], [tex]80\%[/tex] e [tex]40\%[/tex] são as porcentagens de acerto em cada questão, então vamos aos cálculos:
- [tex]30\%[/tex] dos alunos acertaram, digamos, a questão 1, ou seja, um total de [tex]\dfrac{30}{100}n=0,3 \cdot n[/tex] alunos.
Portanto, [tex]\boxed{1_1+2_1+ \cdots +n_1= 0,3 \cdot n \cdot 2}[/tex]. - [tex]10\%[/tex] dos alunos acertaram, digamos, a questão 2, ou seja, um total de [tex]\dfrac{10}{100}n=0,1 \cdot n[/tex] alunos.
Portanto, [tex]\boxed{1_2+2_2+ \cdots +n_2= 0,1 \cdot n \cdot 2}[/tex]. - [tex]60\%[/tex] dos alunos acertaram, digamos, a questão 3, ou seja, um total de [tex]\dfrac{60}{100}n=0,6 \cdot n[/tex] alunos.
Portanto, [tex]\boxed{1_3+2_3+ \cdots +n_3= 0,6 \cdot n \cdot 2}[/tex]. - [tex]80\%[/tex] dos alunos acertaram, digamos, a questão 4, ou seja, um total de [tex]\dfrac{80}{100}n=0,8 \cdot n[/tex] alunos.
Portanto, [tex]\boxed{1_4+2_4+ \cdots +n_4= 0,8 \cdot n \cdot 2}[/tex]. - [tex]40\%[/tex] dos alunos acertaram, digamos, a questão 5, ou seja, um total de [tex]\dfrac{40}{100}n=0,4 \cdot n[/tex] alunos.
Portanto, [tex]\boxed{1_5+2_5+ \cdots +n_5= 0,4 \cdot n \cdot 2}[/tex].
Finalmente, por [tex](ii)[/tex], obtemos
[tex]\qquad \qquad N = \dfrac{0,3 \cdot n \cdot 2 + 0,1 \cdot n \cdot 2 + 0,6 \cdot n \cdot 2 + 0,8 \cdot n \cdot 2 + 0,4 \cdot n \cdot 2}{n}[/tex].
Para finalizar, observe que todas as questões valiam 2 pontos, assim independe qual questão teve este ou aquele índice de acerto.
Melhorou?
Nível B – Questão Fácil