Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Disse certo avicultor:
– “Quero com 100 reais comprar 100 aves; mas:
Diga quantas e quais aves devem ser comprados para que o preço seja exatamente 100 reais, nem mais nem menos?
Solução
Vamos supor que [tex]x,\ y\ [/tex] e [tex]\ z[/tex] sejam, respectivamente, as quantidades de faisão, canário e pintagol a serem comprados.
Assim, [tex]x,\ y\ [/tex] e [tex] z [/tex] são números naturais tais que:
[tex]\qquad \qquad S:\begin{cases} x+y+z=100\\ \,\,\\10x+5y+\frac{z}{2}=100\end{cases}[/tex]
O sistema [tex]S[/tex] tem três variáveis e duas equações; portanto, conseguimos escrever duas variáveis em função da terceira, veja:
| [tex]\quad \begin{array}{r r r l} \cancel{-10x}&-10y&-10z&=-1000\\ \cancel{10x}&+5y&+\frac{z}{2}&=100\\ \hline &-5y&-\frac{19}{2}z&=-900\\ &y&+\frac{19}{10}z&=180\\ \end{array}[/tex] |
[tex]\quad \begin{array}{r r r l} -5x& \cancel{-5y}&-5z&=-500\\ 10x&+ \cancel{5y}&+\frac{z}{2}&=100\\ \hline 5x&&-\frac{9}{2}z&=-400\\ x& &-\frac{9}{10}z&=-80\\ \end{array}[/tex] |
e, assim, [tex]\boxed{ x=−80+\dfrac{9\,z}{10}}\quad [/tex] e [tex]\quad\boxed{ y=180-\dfrac{19\,z}{10}}.[/tex]
Observe que [tex]x[/tex] e [tex] y[/tex] são números naturais; assim, das expressões acima, concluímos que
- [tex]z[/tex] é um múltiplo de [tex]10. \qquad \qquad \textcolor{#800000} {(i)} [/tex]
Por outro lado, [tex]x\geqslant 0[/tex] e [tex]y \geqslant 0[/tex]; assim, temos:
- [tex] x=−80+\frac{9z}{10}\geqslant 0[/tex], donde [tex] z\geqslant 88,8 \qquad \qquad \textcolor{#800000} {(ii)}[/tex]
e
- [tex]y=180-\frac{19z}{10}\geqslant 0[/tex], donde [tex] z\leqslant 94,7 .\qquad \qquad \textcolor{#800000} {(iii)}[/tex]
De [tex]\textcolor{#800000} {(i)}[/tex], [tex]\textcolor{#800000} {(ii)}[/tex] e [tex] \textcolor{#800000} {(iii)}[/tex] concluímos que [tex]z[/tex] é um múltiplo de [tex]10[/tex], e portanto um número inteiro, tal que [tex]\,\, 88,8 \leqslant z\leqslant 94,7[/tex]; assim, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$z=90$}\,[/tex] e, consequentemente, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=1$}[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y=9$}.[/tex]
Logo, o comerciante deverá comprar um faisão, nove canários e noventa pintagóis.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.