Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Qual é a maior fração: [tex]\, \dfrac{2005}{2006}\, [/tex] ou [tex]\, \dfrac{2006}{2007}\, [/tex]?
Observação: Resolva o problema sem efetuar as divisões!
Solução 1
Se [tex] x [/tex] é um número natural não nulo, segue que
[tex]\qquad\qquad \dfrac{x-1}{x}-\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{x^2-1-x^2}{x^2+x}=\dfrac{-1}{x^2+x}[/tex].
Assim, se [tex]x=2006[/tex], temos que:
[tex]\qquad \dfrac{2006-1}{2006}-\dfrac{2006}{2006+1}=\dfrac{-1}{2006^2+2006}\\
~~\\
\qquad \dfrac{2005}{2006}-\dfrac{2006}{2007}=\dfrac{-1}{2006^2+2006}.
[/tex]
Com isso, notamos que [tex]\dfrac{2005}{2006}-\dfrac{2006}{2007}\lt 0[/tex] e, portanto, [tex]\dfrac{2006}{2007}[/tex] é a maior dentre as frações dadas.
Solução enviada pelo Clube Eureka!.
Solução 2
Apresentamos uma generalização deste problema e sua resolução:
- Se [tex] n[/tex] é um número natural, qual é a maior fração:[tex]\, \dfrac{n}{n+1}\, [/tex] ou [tex]\, \dfrac{n+1}{n+2}\, [/tex]?
Realizando a subtração das frações, temos
[tex]\qquad \begin{align*} \dfrac{n+1}{n+2}-\dfrac{n}{n+1} &= \dfrac{(n+1) \cdot (n+1)}{(n+2) \cdot (n+1)}-\dfrac{n \cdot (n+2)}{(n+1) \cdot (n+2)}\\
&= \dfrac{n^2 + 2n + 1}{(n+2) \cdot (n+1)}-\dfrac{n^2 + 2n}{(n+1) \cdot (n+2)}\\
&= \dfrac{n^2 + 2n + 1-n^2-2n}{(n+1) \cdot (n+2)}\\
&= \dfrac{1}{(n+1) \cdot (n+2)} \gt 0.\end{align*}[/tex]
Mas se [tex]\dfrac{n+1}{n+2} – \dfrac{n}{n+1} > 0[/tex], podemos concluir que [tex]\dfrac{n+1}{n+2} > \dfrac{n}{n+1}[/tex].
De modo particular, para [tex]n = 2005[/tex], temos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{2006}{2007} \gt \dfrac{2005}{2006}$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão do problema o Clube Eureka!.