.Problema: Capas de um livro

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

(FVG – SP, 2009) Uma editora decidiu disponibilizar o lançamento de um novo livro em duas versões: uma mais elaborada, com capa dura, e outra popular, com capa de papelão. Uma pesquisa realizada pela editora registrou que, no dia do lançamento, o lucro da editora poderia ser estimado pela função:

$L=(25-0,5x)\cdot x+(30-y)\cdot y -(50-0,5x-y)^2$ ,

na qual $x$ é o preço do exemplar com capa dura e $y$ o preço do exemplar com capa de papelão, em reais.
O departamento de produção da editora decidiu que o exemplar de capa dura deveria custar o dobro do preço do exemplar de capa de papelão. Buscando obter o maior lucro possível, o diretor de vendas estabeleceu estes preços para cada uma das duas versões.

Capa Dura: $R$\;50,00$ .
Capa de Papelão: $R$\;25,00$ .

Foi correta a decisão do diretor de vendas? Justifique.

Solução 1

Pela decisão do departamento de produção da editora, devemos ter $x=2y$ e, portanto, $y=\frac{x}{2}=0,5x$ .
Assim, a função que expressa o lucro pode ser reescrita como:
$\qquad L=(25-y)\cdot 2y+(30-y)\cdot y -(50-y-y)^2$
$\qquad L=50y-2y^{2}+30y-y^{2}-(50-2y)^{2}$
$\qquad L=80y-3y^{2}-(2500-200y+4y^{2})$
$\qquad L=80y-3y^{2}-2500+200y-4y^{2}$
$\qquad L=-7y^{2}+280y-2500$
Vamos reescrever essa última expressão da seguinte forma:
$\qquad L=-7\cdot (y^{2}-40y)-2500$
$\qquad L=-7\cdot(y^{2}-40y \textcolor{#FF0000}{+20^{2}-20^{2}}) -2500$
$\qquad L=-7\cdot(y-20)^2+2800-2500$
$\qquad L=-7\cdot(y-20)^2+300$
A última igualdade nos mostra que $L$ não possui valor mínimo, pois o termo do segundo grau está sendo multiplicado por um real negativo. Assim, $L$ só possui valor máximo e esse valor ocorre quando a expressão do segundo grau $(y-20)^2$ se anula. Dessa forma, para obtermos o $L$ máximo devemos ter $y-20=0$ , ou seja, $y=20.$
Daí, de $x=2y$ , segue que $x=2\cdot 20=\boxed{40}.$
Portanto, a decisão não foi a correta. A opção que propiciaria lucro máximo seria:

Capa Dura: $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ R\$\;40,00$}\,$ ,
Capa de Papelão: $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\;20,00$}\,$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Ajuda para a Solução 2

${\color{#800000}(1)}$ O gráfico de uma função quadrática $h:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ dada por $h(x)=ax^2+bx+c,a\not=0$ , é uma parábola com diretriz paralela ao eixo $Ox$ , eixo de simetria paralelo ao eixo $Oy$ , sendo sua concavidade voltada para cima se $a\gt 0$ e voltada para baixo se $a\lt0$ .

${\color{#800000}(2)}$ Se $\Delta= b^2-4ac$ , as coordenadas do vértice da parábola são dadas por $(x_v,y_v)=\bigg(\dfrac{-b}{2a},\dfrac{-\Delta}{4a}\bigg)$ , sendo que $x_v=\dfrac{-b}{2a} \,$ e $\, y_v=\dfrac{-\Delta}{4a}$ indicam, respectivamente:

o ponto de mínimo e o valor mínimo da função $h$ , se a concavidade estiver voltada para cima;
o ponto de máximo e o valor máximo da função $h$ , se a concavidade estiver voltada para baixo.

Visualizem as informações fornecidas no lembrete ${\color{#800000}(2)}$ , se $\Delta \gt 0$ ,
clicando no botão abaixo.

Solução 2

Pelo enunciado do problema, devemos ter $x=2y$ ; então, a função que expressa o lucro pode ser assim reescrita:
$\qquad L=(25-y)\cdot 2y+(30-y)\cdot y -(50-y-y)^2\\ \qquad L=50y-2y^{2}+30y-y^{2}-(50-2y)^{2}\\ \qquad L=80y-3y^{2}-(2500-200y+4y^{2})\\ \qquad L=80y-3y^{2}-2500+200y-4y^{2}\\ \qquad L=-7y^{2}+280y-2500.$
Note que a última equação define uma função quadrática em $y$ . Portanto, pela , $L$ terá valor máximo quando $y=\dfrac{-280}{2\cdot(-7)}=20$ .
Se $y=20$ , então $x=2\cdot20=40$ .
Portanto, a decisão não foi a correta. A opção que propiciaria lucro máximo seria:

Capa Dura: $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ R\$\;40,00$}\,$ ,
Capa de Papelão: $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\;20,00$}\,$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.