Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Fundamentos de Matemática Elementar, Vol.1 – Adaptado) Considere a função [tex] f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] que satisfaz as seguintes condições:
-
[tex](i)\; f(x)\cdot f(y)=f(x+y), \forall x,y \in \mathbb{R}[/tex];
[tex](ii)\; f(1)=2[/tex];
[tex](iii)\; f(\sqrt{2})=4[/tex].
Calcule o valor de [tex]f(3+\sqrt{2})[/tex].
Solução
Vamos calcular [tex]f(3+\sqrt{2})[/tex] usando as três as condições apresentadas no problema.
Observe inicialmente que:
[tex]\qquad \qquad f(3+\sqrt{2})\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=}f(3)\cdot f(\sqrt{2}).[/tex]
Como podemos escrever [tex]3=2+1[/tex], então
[tex]\qquad \qquad f(3)\cdot f(\sqrt{2})= f(2+1)\cdot f(\sqrt{2})\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=} f(2)\cdot f(1)\cdot f(\sqrt{2}).[/tex]
Também sabemos que [tex]2=1+1[/tex], logo
[tex]\qquad \qquad f(2)\cdot f(1)\cdot f(\sqrt{2})=f(1+1)\cdot f(1)\cdot f(\sqrt{2})\stackrel{\textcolor{#800000}{(i)}}{=} f(1)\cdot f(1)\cdot f(1)\cdot f(\sqrt{2}).[/tex]
Das condições [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] segue finalmente que:
[tex]\qquad \qquad f(3+\sqrt{2})=f(1)\cdot f(1)\cdot f(1)\cdot f(\sqrt{2})=2\cdot 2 \cdot 2\cdot 4.[/tex]
Portanto, [tex] \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(3+\sqrt{2})=32$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.