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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
O dono de uma sorveteria verificou que a quantidade diária de sorvetes vendidos [tex](Q)[/tex] varia de acordo com o preço unitário de venda [tex](p)[/tex], conforme a lei [tex]Q(p)=90-20p[/tex].
Qual deve ser o preço pelo qual o sorvete deve ser vendido para que a receita seja máxima?
(Extraído de PUC- RJ.)
Solução 1
Sendo [tex]Q[/tex] a quantidade de sorvetes vendidos e [tex]p[/tex] o preço de cada sorvete, a receita [tex]R[/tex] adquirida na venda desses sorvetes é dada por [tex]\boxed{R(p)=Q \cdot p}.[/tex]
Assim, de acordo com o enunciado, temos que:
[tex]\qquad R(p)=(90-20p)\cdot p\\
\qquad R(p)=-20p^{2}+90p .[/tex]
Podemos escrever essa última equação da seguinte forma:
[tex]\qquad R(p)=-20 \cdot \left(p^{2}-\dfrac{9}{2}p\right)\\
\qquad R(p)=-20 \cdot \left[p^{2}-\dfrac{9}{2}p + \left(\dfrac {9}{4}\right)^{2} – \left(\dfrac {9}{4}\right)^{2}\right]\\
\qquad R(p)=-20 \cdot \left[ \left(p-\dfrac{9}{4}\right)^{2} – \dfrac {81}{16}\right]\\
\qquad R(p)=-20 \cdot \left(p-\dfrac{9}{4}\right)^{2} +\dfrac {405}{4}.[/tex]
Agora, repare que a expressão [tex]-20 \cdot \left(p-\dfrac{9}{4}\right)^{2}[/tex] terá valor máximo quando [tex]p-\dfrac{9}{4}=0[/tex], ou seja, para:
[tex]\qquad p=\dfrac{9}{4}=2,25[/tex].
Portanto, para que a receita seja máxima, cada sorvete deve ser vendido a [tex]R$\,2,25.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Inicialmente, note que a receita é dada por [tex]Q(p) \cdot p[/tex], ou seja, [tex]p (90-20p)[/tex].
Essa receita pode ser transformada em uma função [tex]R[/tex] em função do preço unitário do sorvete [tex]p[/tex]:
[tex]\qquad R(p)=p(90-20p).[/tex]
O valor máximo da receita é dado a partir do valor de [tex]p[/tex] que maximiza a função.
Para descobrirmos esse valor, basta fazermos uma média entre suas raízes. Uma dessa raízes é [tex]\boxed{x_1=0}[/tex] e a outra é a solução da equação [tex]90-20x_2=0 [/tex], que vamos obter a seguir:
[tex]\qquad 90-20x_2=0 \\
\qquad 20x_2=90 \\
\qquad \boxed{x_2=4,5}.[/tex]
De posse das raízes, já podemos obter a média entre elas:
[tex]\qquad \dfrac{0+4,5}{2}=2,25.[/tex]
Portanto, o preço a que o sorvete deve ser vendido é de [tex]R$\,2,25.[/tex]
Solução elaborada pelo COM Geomestres Slay, com contribuições dos Moderadores do Blog.
Solução 3
Primeiramente, segundo o enunciado, a função [tex]Q(p)= 90-20p~[/tex] nos dá a quantidade de sorvetes vendidos em um dia, onde [tex]p[/tex] é o preço de cada um. Sendo assim, a receita total arrecadado em um dia pode ser dado por:
[tex]\qquad Q(p)\cdot p\\
\qquad (90-20p) \cdot p\\
\qquad 90p-20p^2.\\
[/tex]
Assim, podemos criar uma função quadrática definida por [tex]f(p)=90p-20p^2[/tex], que representa a receita em função do preço do sorvete. Como essa função gera uma parábola, sabemos que ela possui um valor máximo. Para encontrá-lo, basta utilizar a fórmula da coordenada [tex]x[/tex] (nesse caso, [tex]p[/tex]) do vértice:
[tex]\qquad P_v=\dfrac {-b}{2a}\\
\qquad P_v=\dfrac{-90}{-40}\\
\qquad P_v=2,25.\\
[/tex]
Assim, o valor de [tex]p[/tex] para que a função [tex]f[/tex] alcance seu valor máximo é [tex]2,25[/tex] e, portanto, para a maior renda possível, os sorvetes devem ser vendidos a [tex]R$\,2,25[/tex] a unidade.
Solução elaborada pelos COM´s: Phidias, Obmépicos, SUPER GÊNIOS 3°CPM e Os Exatos da EAPC.