.Problema: Bactérias

Solução 1

A princípio, dada uma quantidade inicial [tex]P_0[/tex], sabemos que [tex]P(0)=P_0[/tex]. Se após oito dias esta quantidade dobra, então [tex]P(8)=2\cdot P(0)[/tex]; [tex]P(16)=2\cdot P(8)[/tex]; [tex]P(32)=2\cdot P(16)[/tex], e assim por diante.

Como estamos lidando com coeficientes constantes, calcular apenas um destes casos já será suficiente para encontrarmos seus valores. Partindo para a solução, se [tex]P(0)=P_0[/tex], e [tex]P(8)=2\cdot P(0) [/tex], podemos prosseguir da seguinte maneira:

[tex]\qquad P(8)=2\cdot P(0)\Rightarrow P_0\cdot e^{8k}=2\cdot P_0\Rightarrow e^{8k}=2\Rightarrow \log_e 2=8k∴k=\dfrac{\log_e 2}{8}.[/tex]

Como estamos trabalhando com um logaritmo de base [tex]e[/tex], isto é, logaritmo natural (ou neperiano), podemos substituí-lo apenas por [tex]\ln[/tex]. Portanto, concluímos que [tex]k=\dfrac{
\ln 2}{8}.[/tex]

Solução elaborada pelo COM Potências de Euler, com contribuições dos moderadores do Blog.

Solução 2

De acordo com a questão, temos os seguintes valores: [tex]t=8[/tex] e [tex]P(8)=2\cdot P_0[/tex], que, ao serem postos em prática, obtém-se:

[tex]\qquad P(t)=P_0\cdot e^{kt}[/tex]
[tex]\qquad2P_0=P_0\cdot e^{8k}[/tex]
[tex]\qquad2= e^{8k}.[/tex]

Observa-se que há a possibilidade de usar o logaritmo natural, uma vez que [tex]\ln\ e=1[/tex], assim eliminamos o “[tex]e[/tex]” da equação:

[tex]\qquad\ln\ 2=\ln\ e^{8k}[/tex]
[tex]\qquad\ln\ 2=8k\cdot \ln\ e[/tex]
[tex]\qquad k=\dfrac{\ln\ 2}{8}.[/tex]

Portanto, [tex]k=\dfrac{\ln\ 2}{8}.[/tex]

Solução elaborada pelo COM Sociedade de Hilbert, com contribuições dos moderadores do Blog.