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Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(UEG, 2019 – Adaptado) Uma locadora de filmes tem [tex]100[/tex] clientes fixos por semana e o aluguel de cada filme custa [tex]R$ \;2,00[/tex]. Sabe-se que a cada [tex]R$ \;0,50[/tex] que o dono dessa locadora aumenta no preço dos filmes, ele perde [tex]4[/tex] clientes.
Determine o valor do aumento que maximiza a arrecadação dessa locadora na próxima semana e o valor da arrecadação com o respectivo aumento.
Lembrete
Uma função do segundo grau definida por [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], com [tex]a<0[/tex], atinge um valor máximo em [tex]x_v = \dfrac{-b}{2a}[/tex].
Solução
Seja [tex]x[/tex] o valor em reais do aumento sobre o valor de cada filme.
Assim, a quantidade de clientes após esse aumento é dada por [tex]100-\dfrac{x}{0,50}\cdot 4[/tex], enquanto que o valor de cada filme passa a ser de [tex]R$ \;\left(2+x\right)[/tex].
Dessa forma, o valor [tex]V(x)[/tex] arrecadado pela locadora na próxima semana, em função do valor [tex]x[/tex] aumentado será de
[tex]\quad V(x) = \left(100-\dfrac{x}{0,50}\cdot 4\right)(2+x)\\
\quad V(x) = (100-2x\cdot 4)(2+x)\\
\quad V(x) = (100-8x)(2+x)\\
\quad V(x) = -8x^2+84x+200.[/tex]
Pelo Lembrete, o valor do aumento que maximiza a arrecadação semanal é dado por
[tex]\quad x_v = \dfrac{-84}{2\cdot (-8)} = R$\,5,25 [/tex];
portanto, o valor da arrecadação com esse aumento de [tex]R$ \;5,25[/tex] é:
[tex]\quad V(5,25) = -8(5,25)^2+84\cdot 5,25+200\\
\quad V(5,25)=\boxed{R$\,420,50}.[/tex]
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