.Problema: Área do retângulo

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Por um ponto

$P$ no interior de um retângulo

$ABCD$ , traçamos retas paralelas aos lados desse retângulo, de modo que o dividimos em quatro retângulos menores (cada um deles com vértice em

$P$ ).
Sejam

$S_1$ ,

$S_2$ e

$S_3$ as áreas dos retângulos menores que têm vértices em

$D$ , em

$A$ e em

$B$ , respectivamente. Determine a área do quarto retângulo menor em função de $S_1$ , $S_2$ e $S_3$ .

Solução

Considere a figura abaixo, que ilustra a geometria do problema proposto.
f70

Com base nas medidas indicadas na figura, temos que a área

$S$ procurada é

$\qquad \begin{align}S &= b \cdot x \\ &= (b\cdot 1) \cdot (x\cdot 1) \\ &= \bigg(b\cdot \dfrac{y}{y}\bigg)\cdot \bigg(x\cdot \dfrac{a}{a}\bigg) \\&= \dfrac{by}{y} \cdot \dfrac{ax}{a} \\ &= \dfrac{by \cdot ax}{ay} = \fbox{$\dfrac{S_3 \cdot S_1}{S_2}$}.\end{align}$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.