.Problema: Área de um círculo

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

O triângulo

$ABC$ , inscrito em uma circunferência

$\lambda$ , tem o lado

$\overline{BC}$ medindo

$5$ cm.
Em cada item, determine a área do círculo definido por

$\lambda$ , sabendo que:
(a) o ângulo oposto ao lado

$\overline{BC}$ mede

$45^\circ.$
(b) o ângulo oposto ao lado

$\overline{BC}$ mede

$22,5^\circ.$

Lembrete

O Teorema de Pitágoras é um importantíssimo resultado que relaciona as medidas dos lados de um triângulo, mas tem a restrição de poder ser aplicado apenas em triângulos retângulos.

Para triângulos genéricos, as medidas dos lados também podem ser relacionadas por igualdades conhecidas como “Lei dos cossenos”.
Para o triângulo $ABC$ da figura ao lado, a lei dos cossenos garante as seguintes relações entre seus lados e seus ângulos:
$\qquad a^2 = b^2 + c^2 – 2\cdot b\cdot c\cdot cos \, \alpha$ ;
$\qquad b^2 = a^2 + c^2 – 2\cdot a\cdot c\cdot cos \, β$ ;
$\qquad c^2 = a^2 + b^2 – 2\cdot a\cdot b\cdot cos \, \theta$ .

Solução

Sejam

$\lambda$ a circunferência na qual o triângulo

$ABC$ está inscrito e

$O$ o centro de

$\lambda$ .

(a) Primeiramente observamos que a medida do ângulo interno $\hat{A}$ é $45 ^\circ$ , por hipótese. Observamos também que, como $\hat{A}$ é um ângulo inscrito na circunferência $\lambda$ , a medida do ângulo central $B\hat{O}C$ é $90^\circ$ , já que esta medida é o dobro da medida do ângulo inscrito $B\hat{A}C$ .
Construindo o triângulo de vértices $B$ , $O$ e $C$ obtemos, então, um triângulo retângulo cujas medidas dos lados $\overline{OB}$ e $\overline{OC}$ valem a medida do raio da circunferência; suponha que essa medida seja $R \, cm$ .
Como o triângulo é retângulo, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras e obter:
$\qquad 5^2=R^2+R^2$
$\qquad 25=2R^2$
$\qquad R^2=\dfrac{25}{2}$ ,
para em seguida, obtermos a área do círculo definido por $\lambda$ : $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A=\dfrac{25 \pi}{2} cm^2$} \,$ .

(b) Aqui, o raciocínio inicial é o mesmo do item (a): assim, construímos o triângulo de vértices $B$ , $O$ e $C$ e observamos agora que, como a medida do ângulo interno $\hat{A}$ do triângulo $ABC$ é $22,5 ^\circ$ , por hipótese, a medida do ângulo oposto ao lado $\overline{BC}$ no triângulo $BOC$ é $45 ^\circ$ , já que, mais uma vez, o ângulo $B\hat{O}C$ é o ângulo central relativo a $\lambda$ correspondente ao ângulo inscrito $B\hat{A}C$ .
Agora o triângulo $BOC$ não é retângulo, portanto NÃO podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. A finalização deste item será possível com a utilização de uma das igualdades da Lei dos Cossenos; vejamos:
$\qquad 5^2=R^2+R^2-2\times R \times R \times cos(45^\circ )$
$\qquad 25=2R^2-2R^2\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\qquad 25=R^2(2-\sqrt2)$
$\qquad R^2=\dfrac{25}{2-\sqrt{2}}$