.Problema: Amigas inseparáveis

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

---

Era uma vez quatro amigas inseparáveis.
Um dia Sonia fez aniversário e disse para Sílvia:
– Agora tenho um ano a mais que você!
Magda, a mais nova do grupo, ficou um pouco pensativa e depois perguntou à Susana:
– Que idade você tem?
– 17 ,
respondeu Susana. Então, Magda disse:
– Reparem numa coisa curiosa . . . Entre duas de nós a diferença de idades é de 2 anos, entre outras duas a diferença é de 3 anos. Há também duas com 4 anos de diferença, outras duas com 5 e ainda duas com 6. Assim, comparando duas a duas as nossas idades, conseguem-se obter diferenças de 1, 2, 3, 4, 5 e 6 anos.

Que idades têm as quatro amigas?

Solução

---

Temos de encontrar quatro idades (números inteiros), todas diferentes (visto que nenhuma diferença é zero). Além disso, a diferença entre a mais velha e a mais nova vai ser a maior possível: 6.
Para facilitar, imaginemos um segmento de reta em que os extremos estão à distância de 6 unidades, no qual tentaremos distribuir as idades das quatro amigas. A idade da mais nova corresponderá ao ponto A e a da mais velha a G. Logo, as outras duas idades estarão nos pontos intermediários (B a F).

Como tem de haver uma diferença de 5 anos entre duas das idades, podemos ter dois casos:

1º) Uma das amigas tem 5 anos menos do que a mais velha. Neste caso, a idade dessa amiga ocuparia o ponto B e seria um ano a mais que a idade que está em A.

Mas observe que esta situação não pode ocorrer, pois sabemos que a diferença de um ano é entre as idades da Sonia e da Sílvia. Dessa forma, as idades dessas duas amigas ficariam nas posições A e B e, então, Magda não seria a mais nova do grupo.

2º) Uma das amigas tem 5 anos mais do que a mais nova; assim sua idade ocupará o ponto F e a idade da última amiga terá de ficar num dos pontos livres.
A idade da última amiga não pode ser nem em B e nem em E (a diferença “1” é entre F e G). Também não pode ser em D, que fica a igual distância dos extremos. Logo, só pode ser em C.

Como Magda é a mais nova e Sonia tem um ano mais que Sílvia, a distribuição só pode ser:
ponto A: Magda, 15 anos;
ponto C: Susana, 17 anos;
ponto F: Sílvia, 20 anos;
ponto G: Sonia, 21 anos.

---

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog .