Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
Mostre que, num triângulo escaleno, a altura relativa ao maior lado é a menor das alturas.
Solução 1
Considere um triângulo [tex]ABC[/tex], tal que:
- [tex]a \lt b \lt c[/tex] são as medidas dos lados opostos a [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex], respectivamente.
- [tex]h_a[/tex], [tex]h_b[/tex] e [tex]h_c[/tex] são as medidas de suas alturas relativas a [tex]\overline{BC}[/tex], [tex]\overline{AC}[/tex] e [tex]\overline{AB}[/tex], respectivamente.
Lembre que a área de um triângulo é metade do produto da medida de um lado qualquer pela medida da altura do triângulo relativa a esse lado, logo
[tex] \qquad \dfrac{a \cdot h_a}{2} = \dfrac{b \cdot h_b}{2} = \dfrac{c \cdot h_c}{2}[/tex]
donde
[tex]\qquad a \cdot h_a = b \cdot h_b = c \cdot h_c.\qquad \qquad (I)[/tex]
Usaremos também o fato de que numa desigualdade entre números reais, se multiplicamos ambos os membros por um número positivo a desigualdade continua válida. [tex]\qquad \qquad (II)[/tex]
Assim,
[tex]\qquad b \lt c \stackrel{(II)}{ \, \Leftrightarrow \, } b \cdot \dfrac{h_b}{c} \lt c \cdot \dfrac{h_b}{c}\Leftrightarrow \dfrac{b \cdot h_b}{c} \lt h_b[/tex]
[tex]\qquad \stackrel{(I)}{ \, \Leftrightarrow \, } \dfrac{c \cdot h_c}{c} \lt h_b \Leftrightarrow \boxed{ h_c \lt h_b}[/tex]
De modo análogo mostramos que [tex]\boxed{h_c \lt h_a}[/tex], provando que [tex]h_c[/tex] é a menor das alturas do triângulo em questão.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Considerando os lados de um triângulo escaleno qualquer como [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] sendo [tex]a > b > c[/tex], e as alturas do triangulo como:
[tex]\qquad h_a[/tex] ( altura relativa ao lado [tex]a[/tex]);
[tex]\qquad h_b[/tex] ( altura relativa ao lado [tex]b[/tex]);
[tex]\qquad h_c[/tex] ( altura relativa ao lado [tex]c[/tex]);
Obtemos a área do triângulo ( podemos chamar o resultado de “[tex]x[/tex]”) com os seguintes cálculos:
[tex]\qquad \dfrac{a\cdot{h_a}}{2} = x[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{b\cdot{h_b}}{2} = x[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{c\cdot{h_c}}{2} = x[/tex]
Logo, percebemos que para que os três cálculos deem o mesmo resultado é necessário que o maior lado tenha a menor altura e vice-versa para que seja mantido um equilíbrio e os três resultados sejam iguais.
Solução elaborada pelo COM 1uik.