Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Em um depósito há [tex]p[/tex] caixas de tamanhos diferentes que são utilizadas para alocar objetos especiais de um mesmo tipo. Se colocadas em ordem crescente de volume, a quantidade máxima de objetos que essas caixas comportam são, respectivamente, [tex]x, x+4,x+8,\, \dots \,, x+ 4\cdot (p-1)[/tex] objetos, sendo que a caixa de maior volume comporta no máximo [tex]31[/tex] objetos.
Aproveitando a capacidade máxima de cada caixa, nelas foram distribuídos [tex]136[/tex] objetos.
Quantas caixas para embalar esses objetos especiais tinha no depósito?
Quantos desses objetos foram alocados na caixa de menor volume?
Lembretes
Dada uma PA [tex](a_{1}, a_{2}, \dots, a_s)[/tex] de razão [tex]r[/tex]:
- O termo geral, [tex]a_{n}[/tex], é dado por [tex]\boxed{a_{n}=a_{1}+ (n-1)\cdot r}[/tex].
- A soma dos [tex]n[/tex] primeiros termos é [tex]\boxed{S_{n} =\dfrac{ (a_{1} +a_{n}) \cdot n}{2}}[/tex].
Solução
Considere a sequência de inteiros positivos:
[tex]\qquad x, x+4,x+8,\, \dots\,, x+4 \cdot (p-1)[/tex]
e observe que temos uma Progressão Aritmética finita de razão [tex]r=4[/tex], primeiro termo [tex]a_{1}=x[/tex] e último termo igual a [tex]a_{p}=x+4 \cdot (p-1)=31[/tex]. Além disso, a soma dos [tex]p [/tex] termos dessa sequência é [tex]S_{p} = 136[/tex]. Dessa forma:
[tex]\qquad 31=x +4(p-1)\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{[x+x+4(p-1)]p}{2}=136. \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex]
Segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] o seguinte sistema nas incógnitas [tex]x[/tex] e [tex]p[/tex]:
[tex]\qquad \begin{cases}
xp+2(p-1)p=136 \quad \quad \textcolor{#800000}{(iii)}\\
x+4(p-1)=31 \quad \qquad \;\, \textcolor{#800000}{(iv)}
\end{cases}\quad[/tex].
Multiplicando [tex] \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] por [tex]-p[/tex] e somando o resultado com [tex] \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] segue que:
[tex]\qquad -xp-4(p-1)p + xp +2p(p-1) = -31p +136\\
\qquad 2p^{2} -33p +136=0.[/tex]
Obtemos, assim, uma equação quadrática na incógnita [tex]p[/tex]. Resolvendo a equação, obtemos como discriminante:
[tex]\qquad \Delta = (-33)^{2} -4 \cdot 2 \cdot 136=1089-1088=1 [/tex].
Logo, temos dois valores possíveis para [tex]p[/tex]:
[tex]\qquad p_1= \dfrac{33+1}{4}= \dfrac{34}{4},\\
\qquad p_2=\dfrac{33-1}{4} = \dfrac{32}{4} = 8.[/tex]
Observe que [tex]p_1= \dfrac{34}{4}[/tex] não é um número inteiro; assim, desconsideraremos esse valor.
Logo, no depósito existiam [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$8$}\,[/tex] caixas. E como
[tex]\qquad x = 31-4(p-1) = 31-4 \cdot 7=31 – 28=3[/tex],
então na caixa de menor volume foram alocados [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3$}\,[/tex] objetos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.