Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Olimpíada Cearense de Matemática 1992 – Ensino Fundamental – Adaptado) Determine todos os valores reais [tex]x, y\, [/tex] e [tex]\, z[/tex] que satisfazem à igualdade [tex]\boxed{3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz}[/tex].
Solução
Passando todos os termos da equação [tex]\boxed{3x^2+y^2+z^2=2xy+2xz}[/tex] para o primeiro membro, segue que:
[tex]\qquad 3x^2+y^2+z^2-2xy-2xz=0[/tex]
[tex]\qquad x^2+x^2-2xy+y^2+x^2-2xz+z^2=0[/tex]
[tex]\qquad x^2+(x-y)^2+(x-z)^2=0\,[/tex] .
Como cada um dos três quadrados que aparecem na última igualdade é maior ou igual a zero, a soma deles só será zero se cada um for zero. Assim, temos que
[tex]\qquad x^2=0\,\,[/tex] e [tex]\,\,(x-y)^2=0\,\,[/tex] e [tex]\,\, (x-z)^2=0[/tex];
portanto:
[tex]\qquad x=0\,\,[/tex] e [tex]\,\,x=y\,\,[/tex] e [tex]\,\,x=z\,\,[/tex].
Logo, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=y=z=0$}\, [/tex] é a única solução real da equação dada.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.