Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Extraído do Material do PECI – OBMEP) Encontre todos os reais [tex]x[/tex] para os quais [tex]\dfrac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\dfrac{7}{6}[/tex].
Solução
Sejam [tex]\boxed{2^x=a}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{3^x=b}[/tex].
Assim, temos que
- [tex]8^x=(2^3)^x=(2^x)^3=a^3[/tex]
- [tex]27^x=(3^3)^x=(3^x)^3=b^3[/tex]
- [tex]12^x=(2^2\cdot 3)^x=(2^2)^x\cdot 3^x=(2^x)^2\cdot 3^x=a^2b[/tex]
- [tex]18^x=(2\cdot 3^2)^x=2^x\cdot (3^2)^x=2^x\cdot (3^x)^2=ab^2[/tex]
e, portanto, segue de [tex]\dfrac{8^x+27^x}{12^x+18^x}=\dfrac{7}{6}[/tex] que:
[tex]\qquad \dfrac{a^3+b^3}{a^2b+ab^2}=\dfrac{7}{6}\\
\quad \dfrac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{ab(a+b)}=\dfrac{7}{6}\\
\quad \dfrac{\cancel{(a+b)}(a^2-ab+b^2)}{ab\cancel{(a+b)}}=\dfrac{7}{6}\\
\quad \dfrac{a^2-ab+b^2}{ab}=\dfrac{7}{6}\\
\quad 6a^2-6ab+6b^2=7ab\\
\quad 6a^2-13ab+6b^2=0\\
\quad 6a^2-4ab+6b^2-9ab=0\\
\quad 2a(3a-2b)-3b(3a-2b)=0\\
\quad (3a-2b)(2a-3b)=0\,.\qquad \textcolor{#800000}{(*)}\\[/tex]
Como o produto que aparece em [tex]\textcolor{#800000}{(*)}\\[/tex] é nulo, [tex]\boxed{2a-3b=0}\,[/tex] ou [tex]\,\boxed{3a-2b=0}[/tex].
Agora, observe que:
- [tex]2a-3b=0 \Leftrightarrow 2 \cdot 2^x = 3 \cdot 3^x \Leftrightarrow 2^{x+1}=3^{x+1}\Leftrightarrow \dfrac{2^{x+1}}{3^{x+1}}=1\Leftrightarrow \left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1}=1\Leftrightarrow\\
\Leftrightarrow\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x+1}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{0} \Leftrightarrow x+1=0 \Leftrightarrow x=-1;[/tex] - [tex]3a-2b=0 \Leftrightarrow 3 \cdot 2^x = 2 \cdot 3^x \Leftrightarrow 2^{x-1}=3^{x-1}\Leftrightarrow \dfrac{2^{x-1}}{3^{x-1}}=1\Leftrightarrow \bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^{x-1}=1 \Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow \bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^{x-1}=\bigg(\dfrac{2}{3}\bigg)^0 \Leftrightarrow x-1=0 \Leftrightarrow x=1. [/tex]
Portanto, temos duas soluções da equação em questão: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_1= 1$}\,[/tex] e [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x_2= -1$}\,.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.