Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Pelas regras da empresa de cargas onde trabalha, Antônio pode dirigir seu caminhão a uma velocidade máxima de [tex]80\ km/h[/tex], quando não está chovendo; e, na chuva, ele pode dirigir à velocidade máxima de [tex]60\ km/h[/tex].
Certa vez, Antônio começou uma viagem na chuva e, após algumas horas, parou de chover. Considerando que Antônio viajou somente nas velocidades máximas permitidas e que, ao final do percurso, andou [tex]500 \, km[/tex] em [tex]7[/tex] horas, durante quanto tempo da viagem estava chovendo?
Lembrete
Quando um objeto está em movimento, ele muda de posição ao longo do percurso. A velocidade desse objeto é definida levando-se em consideração o espaço que ele percorreu em um determinado intervalo de tempo, ou seja, velocidade é a grandeza que mede quão rápido um objeto se desloca.
Se conhecermos a extensão do percurso e o tempo gasto pelo objeto para percorrê-lo, podemos dividir o espaço percorrido pelo tempo total de percurso e esse quociente chamamos velocidade média do objeto.
Se a velocidade de um objeto é constante, ela é igual à velocidade média do objeto nesse movimento, ou seja:
[tex]\boxed{\text{velocidade}=\frac{\text{distância percorrida}}{\text{tempo gasto}}}[/tex].
Chamando a velocidade de [tex]v[/tex], a distância percorrida de [tex]d[/tex] e o tempo gasto de [tex]t[/tex], temos [tex]\boxed{v=\frac{d}{t}}[/tex] e, nesse caso, [tex]\boxed{d=v\times t}[/tex].
É importante darmos atenção às unidades de medida. Se, por exemplo, a velocidade é em quilômetros/hora, a distância é em quilômetros e o tempo é em horas.
Solução 1
Considere que choveu [tex]x[/tex] horas durante a viagem de Antônio. Dessa forma, o período que Antônio dirigiu sem chuva foi de [tex]\,7-x\,[/tex] horas.
Sabemos que [tex]d=v\times t,[/tex] dessa forma,
[tex]\qquad \begin{align}
500&=x\times 60 +(7-x)\times 80\\
500&=60x+ 560-80x\\
500&=560-20x\\
20x&=560-500\\
20x&=60\\
x&=3 \, horas.
\end{align}
[/tex]
Assim, podemos concluir que, durante a viagem, choveu [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$3\text{ horas}$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Considerando os dois trechos da estrada (chuvoso [tex]= d[/tex] e não chuvoso [tex]=500 – d[/tex]) e que a soma dos tempos parciais [tex]t_1[/tex] e [tex]t_2[/tex] é igual a [tex]7h[/tex], vem:
1° trecho:
[tex]\qquad V_1 = \dfrac{d_1}{t_1}[/tex]
[tex]\qquad 60 = \dfrac{d}{t_1}[/tex]
[tex]\qquad 60t_1=d[/tex]
[tex]\qquad t_1= \dfrac{d}{60}. \qquad (I)[/tex]
2° trecho:
[tex]\qquad V_2=\dfrac{d_2}{t_2}[/tex]
[tex]\qquad 80=\dfrac{500-d}{t_2}[/tex]
[tex]\qquad 80t_2= 500-d[/tex]
[tex]\qquad t_2= \dfrac{500-d}{80}. \qquad (II)[/tex]
Como [tex]t_1+ t_2 = 7[/tex]:
[tex]\qquad \dfrac{d}{60} + \dfrac{500-d}{80}=7[/tex]
Calculando o mmc entre [tex] 60[/tex] e [tex]80[/tex] e resolvendo a equação, obtém-se:
[tex]\qquad 7= \dfrac{4d +3(500-d)}{ 240}\\
\qquad 1680 = 4d + 3(500-d)[/tex]
[tex]\qquad 1680 = 4d + 1500 – 3d[/tex]
[tex]\qquad d= 180 \, km.[/tex]
Para determinarmos o tempo de viagem durante a chuva, substituímos a distância percorrida [tex]d[/tex] em (I). Assim,
[tex]\qquad t_1= \dfrac{d}{60}\\
\qquad t_1= \dfrac{180}{60}\\
\qquad t_1=3 \, h.[/tex]
Logo, o tempo gasto durante o período chuvoso foi de 3 horas.
Solução elaborada pelo COM OCTETO MATEMÁTICO, com contribuições dos Moderadores do Blog.