.Princípio das Casas de Pombos – Problemas

Problema 1

Qual o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que duas entre elas fazem aniversário no mesmo mês?
Resposta: O número mínimo de pessoas é 13.
Justificativa: Para este problema temos:

◆ casas: meses do ano (12);
◆ pombos: pessoas (13);
◆ relação: associamos cada pessoa ao seu mês de nascimento.

Pelo Princípio das Casas dos Pombos, como temos 12 casas e 13 pombos, uma das casas receberá, pelo menos, 2 pombos, ou seja, um dos meses terá dois aniversariantes.

Problema 2

Uma caixa contém 3 tipos de bolas (azuis, verdes, amarelas). Qual o número mínimo de bolas que devemos retirar da caixa para garantirmos que temos duas bolas da mesma cor?
Solução: Devemos retirar 4 bolas.
Justificativa: Para este problema escolhemos:

◆ casas: uma caixa azul, uma caixa verde e uma caixa amarela (3);
◆ pombos: bolas (4);
◆ relação: associamos a cada bola a sua cor.

Pelo Princípio das Casas dos Pombos, como temos 3 casas e 4 pombos, uma das casas receberá, pelo menos, 2 pombos, ou seja, uma das caixas conterá, pelo menos, duas bolas. Dessa forma, pelos menos duas bolas retiradas têm a mesma cor.
Vamos explicitar o raciocínio garantido pelo Princípio:
Ao retirarmos três bolas da caixa, a pior hipótese é que cada uma seja de uma cor.
Distribuindo, então cada bola em sua respectiva caixa, com a retirada da quarta bola, esta poderá ser de qualquer cor.
Assim precisamos retirar, no mínimo, 4 bolas para garantirmos que tenhamos duas bolas de mesma cor.

Problema 3

Em uma floresta existem 106 jaqueiras. É conhecido que cada uma dessas jaqueiras não produz anualmente mais do que 92 frutos. Prove que existem 2 jaqueiras na floresta que têm a mesma quantidade de frutos.
Solução:
Para este problema temos:

◆ casas: quantidade de frutos (0, 1, 2, 3, …, 92);
◆ pombos: jaqueiras (106);
◆ relação: associamos cada jaqueira a quantidade de frutos que ela contém.

Temos 106 jaqueiras e 93 casas identificadas pelos números 0; 1; 2; 3; … ; 92. O número k associado a cada casa significa que nela serão colocadas jaqueiras que têm exatamente k frutos.
Como [tex]106 > 94 = 93 + 1[/tex], o Princípio das Casas de Pombos nos garante que existem, pelo menos, duas jaqueiras com a mesma quantidade de frutos.

Problema 4

São escolhidos cinco pontos, ao acaso, sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que pelo menos um dos segmentos determinados por dois desses pontos tem comprimento, no máximo, igual a [tex] \sqrt{2}[/tex].
Solução:
Inicialmente, vamos dividir o quadrado em quatro quadrados de lado 1:

Com isso, façamos:

◆ casas: os quadrados menores (4);
◆ pombos: pontos (5);
◆ relação: associamos cada ponto ao quadrado a que ele pertence.

Pelo Princípio das Casas de Pombos, a superfície de um dos quadrados contém, pelo menos, dois dos cinco pontos dados.
Observe que, para cada quadrado, a distância máxima entre dois pontos sobre a sua superfície é igual ao comprimento de sua diagonal, que mede [tex] \sqrt{2}[/tex], veja:

assim, os dois pontos que estão sobre a superfície de um mesmo quadrado estão a uma distância de no máximo [tex]\sqrt{2}[/tex].
Dessa forma, dados cinco pontos, como pelo menos dois estarão em uma mesma “casa”, eles determinam um segmento de comprimento, no máximo, igual a [tex] \sqrt{2}[/tex].