Números especiais – números perfeitos: Problemas

Números perfeitos

Problemas

Problema 1:
(i) Mostrar que 672 é um número multiperfeito. Qual a sua ordem?
(ii) Mostrar que 30240 é um número multiperfeito de ordem 4.
(iii) Mostrar que 523776 é um número multiperfeito de ordem 3.
(iv) Mostrar que 2178540 é um número multiperfeito de ordem 4.

Problema 2: Mostre que um número primo não pode ser perfeito.

Solução: Seja

$p$ um número natural primo qualquer. Como os únicos divisores naturais de um número primo são 1 e o próprio número, então

$\sigma(p)=p+1$ .
Se

$p$ fosse perfeito,

$\sigma(p)=2p$ e, então,

$p+1=\sigma(p)=2p$ . Dessa forma teríamos

$p+1=2p$ e

$p=1$ , o que não é possível, visto que

$p$ é primo.
Portanto um número primo não pode ser perfeito.

Problema 3:

Um número natural não nulo $n$ é dito perfeito multiplicativo se o produto dos seus divisores for igual a $n^2$ .

Determinar os dez primeiros números naturais perfeitos multiplicativos.

Problema 4:

(i) Seja $n$ um número multiperfeito de ordem .
Mostre que se $n$ não for múltiplo de 3, então $3n$ é um número multiperfeito de ordem 4.

(ii) Seja $n$ um número multiperfeito de ordem .
Mostre que se $n$ não for múltiplo de 5, então $5n$ é um número multiperfeito de ordem 6.

Solução de (i): Seja

$n$ um número multiperfeito de ordem 3. Assim

$n$ é um número natural maior do que 1 e

$\sigma(n)=3n$ . Agora, observe que:

todo divisor de $n$ é divisor de $3n$ ;
é primo e não é divisor de $n$ ;

portanto,

$d_1, \, d_2, \, \cdots, \, d_r$ são os divisores de

$n$ , então

$d_1, \, d_2, \, \cdots, d_r, \, \, 3\cdot d_1, \, \, 3\cdot d_2, \, \cdots, \, 3\cdot d_r$ são os divisores de

$3n$ .

Assim:
$\begin{align*} \quad\sigma(3n) &= d_1+d_2+\cdots +d_r+3\cdot d_1+3 \cdot d_2+\cdots+3\cdot d_r \\ & =\left( d_1+d_2+\cdots +d_r \right)+3\cdot \left(d_1+ d_2+\cdots+ d_r\right) \\ & =\sigma(n)+3\cdot \sigma(n) \\& =4\cdot \sigma(n). \end{align*}$

Mas $\sigma(n)=3n$ , logo $\sigma(3n) =12n$ .
Dessa forma $\sigma([3n]) =4[3n]$ e, portanto, $3n$ é um número multiperfeito de ordem 4.

Problema 5:

Prove que se $n$ é uma potência de um número primo, então $n$ não é um número perfeito.

Verifique que se $n=p^r$ com $p$ e $r$ números naturais não nulos, sendo $p$ primo, então os divisores de $n$ são $1, \, p, \, \cdots, \, p^r$ .
Efetue a soma $1+p+p^2+\cdots+p^r$ .

Problema 6:
Prove que um quadrado perfeito não é um número perfeito.

Problema 7:
Prove que o produto de dois primos ímpares nunca é um número perfeito.

Solução: Mostre, inicialmente, que se

$a$ e

$b$ são números maiores do que 2 então

$ab\gt a+b+1$ .
Em seguida, verifique que se

$p$ e

$q$ são primos naturais ímpares e distintos, então os divisores do número

$n=pq$ são

$1, \, p, \, q, \, pq$ .
Finalmente, utilize a desigualdade

$pq\gt p+q+1$ para garantir que não é possível a igualdade

$\sigma(n)=2n$ para

$n=pq$ , com

$p$ e

$q$ primos naturais ímpares e distintos. (O caso em que

$p=q$ recai no problema anterior.)

Problema 8:

Sejam $d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r$ os divisores positivos de um número natural $n$ , $n\gt 1$ .
Prove que se $n$ é um número perfeito, então $\, \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots+\dfrac{1}{d_r}=2$ .

$d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r$ são os divisores positivos de um número natural

$n$ , observe que:

Para cada $d_i$ , $i=1, \, 2, \, \, \cdots \, , \, r$ , $\dfrac{n}{d_i}$ é também divisor de $n$ . $\qquad \qquad (i)$
Com efeito, como cada $d_i$ divide $n$ , então $n=d_i\cdot k$ , com $k\in\mathbb{N}$ . Assim $k=\dfrac{n}{d_i}$ e, então, $\dfrac{n}{d_i}\in\mathbb{N}$ . Por outro lado, $n=\dfrac{n}{d_i}\cdot d_i$ , com $n, \, \dfrac{n}{d_i}\in\mathbb{N}$ , portanto, $\dfrac{n}{d_i}$ é divisor de $n$ .
Para $i, \, j=1, \, 2, \, \, \cdots \, , \, r$ , se $\dfrac{n}{d_i}=\dfrac{n}{d_j}$ , então, claramente, $d_i=d_j$ . $\qquad(ii) \,$

Por $(i) \,$ e $\, (ii)$ , concluímos que se $\left\{d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r\right\}$ é o conjunto de todos os divisores de $n$ , então $\left\{\dfrac{n}{d_1}, \, \dfrac{n}{d_2}, \, \cdots \, ,\dfrac{n}{d_r}\right\}$ também o é. Dessa forma, temos que $d_1+d_2+\cdots+d_r=\dfrac{n}{d_1}+\dfrac{n}{d_2}+\cdots+\dfrac{n}{d_r}$ .
Sendo $n$ perfeito, então $\sigma(n)=2n$ , donde
$\begin{align*} \qquad \dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} + \cdots + \dfrac{1}{d_r} & = \dfrac{n}{n} \left( \dfrac{1}{d_1} + \dfrac{1}{d_2} + \cdots + \dfrac{1}{d_r} \right) \\ \\ & =\dfrac{1}{n} \left( \dfrac{n}{d_1} + \dfrac{n}{d_2} + \cdots + \dfrac{n}{d_r} \right) \\ \\ & =\dfrac{1}{n} \left( d_1 + d_2 + \cdots + d_r \right) \\ \\ & =\dfrac{\sigma(n)}{n}\\ \\ & =\dfrac{2n}{n} = 2. \end{align*}$

Problema 9:

Seja $d$ um divisor próprio do número natural $n$ ( $d$ um divisor de $n$ , mas $d \ne n$ ).
Mostre que se $n$ é um número perfeito, então $d$ não é perfeito.

O resultado anterior garante que

se $d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r$ são os divisores positivos de um número perfeito $m$ , então $\, \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots+\dfrac{1}{d_r}=2$ ;

assim

se $d_1, \, d_2, \, \cdots \, , \, d_r$ são os divisores positivos de um número $m$ e $\, \dfrac{1}{d_1}+\dfrac{1}{d_2}+\cdots+\dfrac{1}{d_r}\ne 2$ , então $m$ não é perfeito.

Portanto, mostre que se $k_1, \, k_2, \, \cdots \, , \, k_t$ são os divisores positivos de $d$ , então $\, \dfrac{1}{k_1}+\dfrac{1}{k_2}+\cdots+\dfrac{1}{k_t}\ne 2$ .