
Observe a seguinte sequência de números naturais:
4 | 9 | 16 | 25 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 400 | 900 | 2500. |
O que esses números têm em comum?
Escrevendo-os de um modo diferente:
4=22; 9=32; 16=42; 25=52; 49=72; 64=82; 81=92;100=102; 121=112; 400=202; 2500=502;
percebemos que tais números são quadrados de outros números.
Esses números são matematicamente conhecidos como quadrados perfeitos. Como é usual registrarmos os nomes de objetos matemáticos como definições, temos:
Definição: Quadrado perfeito é qualquer número natural que pode ser escrito como o quadrado de um número também natural.
Para quem está habituado a uma linguagem mais matemática, um número natural n é dito um quadrado perfeito, se, e somente se, existir um número natural a tal que n=a2.
Em símbolos:
Seja n∈N. n ˊe quadrado perfeito⟺∃ a∈N∣n=a2.
Uma qualidade desse tipo de número é que, dentre os números naturais, apenas os quadrados perfeitos têm raízes quadradas exatas.
Você conseguiria justificar essa informação?
Os quadrados perfeitos têm muitas propriedades interessantes, vale a pena conhecê-los um pouco mais.
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Equipe COM – OBMEP
Fevereiro de 2013.