Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Representamos por [tex]1000!\, [/tex] (e lemos [tex]\, 1000\,fatorial [/tex]) o produto de todos os inteiros de [tex]1[/tex] até [tex]1000[/tex]:
[tex]\qquad \qquad 1000!\,=1\times 2\times 3\times \cdots \times 100 \times \cdots \times 1000 .[/tex]
Com quantos zeros consecutivos termina a representação decimal de [tex]\, 1000 !\, [/tex]?
Adaptado do livro É Divertido Resolver Problemas, dos professores Josimar Silva e Luis Lopes.
Solução
Para solucionar este problema, basta observar que cada zero final da representação decimal de [tex]\, 1000 !\, [/tex] significa a presença de um fator [tex]2[/tex] e de um fator [tex]5[/tex] em [tex]\, 1000!\, [/tex].
Como na fatoração de [tex]\, 1000!\, [/tex] existem mais fatores [tex]2[/tex] do que fatores [tex]5[/tex], então, se
[tex]\qquad 1000!=2^a\cdot 3^b\cdot \textcolor{red}{5^c}\cdot 7^d \cdot~ \dots ~\cdot 997^1[/tex]
é a decomposição de [tex]\, 1000!\, [/tex] em fatores primos, o número de zeros que estamos procurando é [tex]\textcolor{red}{c}[/tex].
Portanto, quantos são os fatores [tex]5[/tex] que aparecem nessa decomposição de [tex]\, 1000!\, [/tex]?
Note que no conjunto [tex]\{1, 2, 3, 4,\dots, 1000\}[/tex] existem:
[tex]\qquad \dfrac{1000}{5}=200[/tex] múltiplos de [tex]5\\
[/tex],
[tex]\qquad \dfrac{1000}{25}=40[/tex] múltiplos de [tex]25=5^2\\
[/tex],
[tex]\qquad \dfrac{1000}{125}=8[/tex] múltiplos de [tex]125=5^3\\
[/tex] e
[tex]\qquad 1[/tex] múltiplo de [tex]625=5^4[/tex];
dessa forma, temos um total de [tex]\boxed{200+40+8+1=249}[/tex] zeros no final da representação decimal de [tex]\, 1000 !\,. [/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog
Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Os Geométricos; SALVAMÁTICOS.