.Problema: Muitos zeros . . .

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)

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Representamos por  $1000!\,$ (e lemos $\, 1000\,fatorial$) o produto de todos os inteiros de $1$ até $1000$:
$\qquad \qquad 1000!\,=1\times 2\times 3\times \cdots \times 100 \times \cdots \times 1000 .$
Com quantos zeros consecutivos termina a representação decimal de $\, 1000 !\,$?

Adaptado do livro É Divertido Resolver Problemas, dos professores Josimar Silva e Luis Lopes.

Solução

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Para solucionar este problema, basta observar que cada zero final da representação decimal de $\, 1000 !\,$ significa a presença de um fator $2$ e de um fator $5$ em $\, 1000!\,$.
Como na fatoração de $\, 1000!\,$ existem mais fatores $2$ do que fatores $5$, então, se
$\qquad 1000!=2^a\cdot 3^b\cdot \textcolor{red}{5^c}\cdot 7^d \cdot~ \dots ~\cdot 997^1$
é a decomposição de $\, 1000!\,$ em fatores primos, o número de zeros que estamos procurando é $\textcolor{red}{c}$.
Portanto, quantos são os fatores $5$ que aparecem nessa decomposição de $\, 1000!\,$?
Note que no conjunto $\{1, 2, 3, 4,\dots, 1000\}$ existem:
$\qquad \dfrac{1000}{5}=200$ múltiplos de $5\\ $,
$\qquad \dfrac{1000}{25}=40$ múltiplos de $25=5^2\\ $,
$\qquad \dfrac{1000}{125}=8$ múltiplos de $125=5^3\\ $ e
$\qquad 1$ múltiplo de $625=5^4$;
dessa forma, temos um total de $\boxed{200+40+8+1=249}$ zeros no final da representação decimal de $\, 1000 !\,.$

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Solução elaborada pelos Moderadores do Blog