Malabarismos aritméticos e algébricos – Problemas (2)

Inicialmente, multipliquemos a igualdade fornecida no problema por [tex]2[/tex]:
[tex]\qquad \qquad 2a_1^2+2a_2^2+2a_3^2+ \dots +2a_n^2=2a_1a_2+2a_2a_3+2a_3a_4+ \dots +2a_na_1.[/tex]
Agora, podemos reescrever a igualdade obtida de outras formas:
[tex]\qquad \qquad 2a_1^2+2a_2^2+2a_3^2+ \dots +2a_n^2-2a_1a_2-2a_2a_3-2a_3a_4- \dots -2a_na_1=0[/tex]
[tex]\qquad \qquad \left(a_1^2-2a_1a_2+a_2^2\right)+\left(a_2^2-2a_2a_3+a_3^2\right)+ \dots +\left(a_n^2-2a_na_1+ a_1^2\right)=0[/tex]
[tex]\qquad \qquad (a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+ \dots +(a_n-a_1)^2=0 \, .[/tex]
Veja que temos uma soma de quadrados perfeitos que está dando zero; assim, cada quadrado deve ser zero:
[tex]\qquad \qquad (a_1-a_2)^2=(a_2-a_3)^2=(a_3-a_4)^2=\cdots (a_n-a_1)^2=0[/tex]
e, com isso,
[tex]\qquad \qquad (a_1-a_2)=(a_2-a_3)=(a_3-a_4)=\cdots (a_n-a_1)=0.[/tex]
Dessa forma, temos as seguintes equivalências:
[tex]\qquad \qquad (a_1-a_2)^2=0\Longleftrightarrow a_1-a_2=0 \Longleftrightarrow a_1=a_2;[/tex]
[tex]\qquad \qquad (a_2-a_3)^2=0 \Longleftrightarrow a_2-a_3=0\Longleftrightarrow a_2=a_3;[/tex]
[tex]\qquad \qquad \ldots[/tex]
[tex]\qquad \qquad (a_n-a_1)^2=0 \Longleftrightarrow a_n-a_1=0 \Longleftrightarrow a_n=a_1;[/tex]
e delas podemos concluir que [tex]a_1=a_2=a_2=a_3=\dots =a_n \, .[/tex]
Assim, sendo [tex]a_1=a_2=\dots =a_n \, [/tex], o polígono em questão é equilátero. ( Como o polígono é equilátero e está inscrito em uma circunferência, então esse polígono é também regular.)

Observe inicialmente que, como [tex]x\neq\pm y[/tex], então [tex]x+y\neq 0[/tex]. Dessa forma, somando as duas equações dadas temos que:

[tex]x^3+y^3=16(x+y)\iff(x+y)(x^2-xy+y^2)=16(x+y)\iff x^2-xy+y^2=16.[/tex] [tex]\qquad \color{#800000}{(i)}[/tex]

Agora, multipliquemos a primeira equação do sistema dado por [tex]x[/tex] e a segunda por [tex]y[/tex]. Assim:
[tex]\qquad \begin{cases}
x^4=13x^2+3xy\\
y^4=13y^2+3xy\\
\end{cases}[/tex]
Subtraindo essas duas equações e percebendo que [tex]x^2-y^2\neq 0[/tex], vem:
[tex]\qquad x^4-y^4=13(x^2-y^2)\iff(x^2+y^2)(x^2-y^2)=13(x^2-y^2)\iff x^2+y^2=13.[/tex] [tex]\qquad \color{#800000}{(ii)}[/tex]
Por [tex]\color{#800000}{(i)}, \, [/tex] [tex] \boxed{x^2-xy+y^2=16}; \, [/tex] por [tex]\color{#800000}{(ii)}, \, [/tex] [tex] \boxed{x^2+y^2=13}; \, [/tex] portanto, segue que:
[tex]\quad \left(x^2+y^2\right)-xy=16[/tex]
[tex]\quad 13-xy=16[/tex]
[tex]\quad \boxed{xy=-3}. \, [/tex]
Ainda de [tex]x^2+y^2=13, \, [/tex] segue que:
[tex]\qquad (x^2+y^2)^2=13^2\\
\qquad x^4+2x^2y^2+y^4=169\\
\qquad x^4+2\cdot(xy)^2+y^4=169 \\
\qquad x^4+2\cdot(-3)^2+y^4=169 \\
\qquad x^4+y^4=151 . \qquad \color{#800000}{(iii)}[/tex]
Finalmente, sabemos que [tex](x^2-y^2)^2=x^4-2x^2y^2+y^4[/tex]; portanto, utilizando [tex]\color{#800000}{(iii)}[/tex] vem que
[tex]\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$(x^2-y^2)^2$}=x^4+y^4-2x^2y^2=151-2(xy)^2=151-2(-3)^2= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$133$}.[/tex]

Considere as equações:
[tex]\qquad \qquad \begin{cases}
\sqrt{x}+2\sqrt{y}=9 \qquad \color{#800000}{(i)}\\
x-4y=9 \qquad \color{#800000}{(ii)}\
\end{cases}[/tex] .
Podemos reescrever a segunda equação do sistema assim:
[tex]\begin{align*}x-4y=9 &\iff(\sqrt{x})^2-(2\sqrt{y})^2=9 \\
& \iff (\sqrt{x}+2\sqrt{y})(\sqrt{x}-2\sqrt{y})=9 \\
& \iff 9\cdot(\sqrt{x}-2\sqrt{y})=9\\
& \iff \sqrt{x}-2\sqrt{y}=1
\end{align*}
[/tex]
Dessa forma, podemos reescrever o sistema de equações dado como:
[tex]\begin{cases}
\sqrt{x}+2\sqrt{y}=9 \qquad \color{#800000}{(i)}\\
\sqrt{x}-2\sqrt{y}=1 \qquad \color{#800000}{(iii)}\
\end{cases}[/tex]
Perceba, agora, que somando as equações [tex]\color{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex] \, \color{#800000}{(iii)}[/tex], obtemos:
[tex]\quad 2\sqrt{x}=10\\
\quad \sqrt{x}=5 \\
\quad \left(\sqrt{x}\right)^2=\left(5\right)^2\\
\quad x=25.[/tex]
Substituindo [tex]x=25[/tex] em [tex]\color{#800000}{(i)} \, [/tex], segue que
[tex]\quad \sqrt{25}+2\sqrt{y}=9\\
\quad 5+2\sqrt{y}=9\\
\quad 2\sqrt{y}=4\\
\quad \sqrt{y}=2\\
\quad \left(\sqrt{y}\right)^2=2^2\\
\quad y=4.[/tex]
Assim, temos apenas um par de números reais [tex]x,y\in R_+[/tex] que satisfazem as duas equações dadas: [tex]x=25 \, ; \, y=4.[/tex]

Considere as equações
[tex]\qquad \begin{cases}
x^2+y^2=1 \qquad \color{#800000}{(i)}\\
\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b} \qquad \color{#800000}{(ii)}\\
\end{cases}[/tex]
De [tex]\color{#800000}{(i)}[/tex], segue que [tex]\boxed{y^2=1-x^2}[/tex]; assim, de [tex]\color{#800000}{(ii)},[/tex] vem que:
[tex]\qquad \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{\left(y^2\right)^2}{b}=\dfrac{1}{a+b}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{(1-x^2)^2}{b}=\dfrac{1}{a+b} \\
\qquad \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{1-2x^2+x^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}\\
\qquad \dfrac{x^4}{a}+\dfrac{1-2x^2+x^4}{b}-\dfrac{1}{a+b}=0\\
\qquad x^4\cdot \left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)-\left(\dfrac{2}{b}\right)\cdot x^2+\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{a+b}=0\\
\qquad \left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\cdot x^4-\left(\dfrac{2}{b}\right)\cdot x^2+\dfrac{a}{b(a+b)}=0 \qquad \color{#800000}{(iii)}[/tex]
Se [tex]z=x^2[/tex], segue de [tex]\color{#800000}{(iii)}[/tex] que
[tex]\qquad \left(\dfrac{a+b}{ab}\right)\cdot z^2-\left(\dfrac{2}{b}\right)\cdot z+\dfrac{a}{b(a+b)}=0. \qquad \color{#800000}{(iv)}[/tex]
Vamos resolver a equação [tex]\color{#800000}{(iv)}[/tex], que é uma equação do segundo grau em [tex]z. \, [/tex] Para tanto, observe que
[tex]\qquad \Delta=\dfrac{4}{b^2}-4\cdot \dfrac{\cancel{(a+b)}}{\bcancel{a}\cdot b}\cdot \dfrac{\bcancel{a}}{b\cdot \cancel{(a+b)}}=\dfrac{4}{b^2}-\dfrac{4}{b^2}=0;[/tex]
assim:
[tex]\qquad x^2=z=\dfrac{\dfrac{2}{b}}{2\cdot\left(\dfrac{a+b}{ab}\right)}=\dfrac{\bcancel{2}\cdot a \cdot \cancel{b}}{\bcancel{2}\cdot \cancel{b} \cdot (a+b)}=\dfrac{a}{a+b}[/tex]
e, portanto, como [tex]y^2=1-x^2[/tex], temos:
[tex] \qquad y^2=1-\dfrac{a}{a+b}=\dfrac{b}{a+b}.[/tex]
Logo:

• de [tex]x^2=\dfrac{a}{a+b}[/tex], segue que [tex]x^8=\dfrac{a^4}{(a+b)^4}[/tex]
• e de [tex]y^2=\dfrac{b}{a+b}[/tex], segue que [tex] y^8=\dfrac{b^4}{(a+b)^4}[/tex],

de forma que
[tex]\qquad \boxed{\dfrac{x^8}{a^3}+\dfrac{y^8}{b^3}=\dfrac{a+b}{(a+b)^4}=\dfrac{1}{(a+b)^3}} \, .[/tex]

Observe, inicialmente, que:

• [tex]\dfrac{4x^2}{4x^2+1}=y\iff \dfrac{1}{y}=\dfrac{4x^2+1}{4x^2}\iff \dfrac{1}{y}=1+\dfrac{1}{4x^2}, \qquad \color{#800000}{(i)}[/tex]
• [tex]\dfrac{4y^2}{4y^2+1}=z\iff \dfrac{1}{z}=\dfrac{4y^2+1}{4y^2}\iff \dfrac{1}{z}=1+\dfrac{1}{4y^2}, \qquad \color{#800000}{(ii)}[/tex]
• [tex]\dfrac{4z^2}{4z^2+1}=x\iff \dfrac{1}{x}=\dfrac{4z^2+1}{4z^2}\iff \dfrac{1}{x}=1+\dfrac{1}{4z^2}. \qquad \color{#800000}{(iii)}[/tex]

Somando as igualdades [tex]\color{#800000}{(i)}[/tex], [tex]\color{#800000}{(ii)}[/tex] e [tex]\color{#800000}{(iii)}[/tex], encontramos:
[tex] \qquad \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\left(1+\dfrac{1}{4x^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{4y^2}\right)+\left(1+\dfrac{1}{4z^2}\right)[/tex]
[tex]\qquad \left(\dfrac{1}{4x^2}-\dfrac{1}{x}+1\right)+\left(\dfrac{1}{4y^2}-\dfrac{1}{y}+1\right)+\left(\dfrac{1}{4z^2}-\dfrac{1}{z}+1\right)=0[/tex]
[tex]\qquad \left(\dfrac{1}{2x}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{2y}-1\right)^2+\left(\dfrac{1}{2z}-1\right)^2=0.\qquad \color{#800000}{(iv)}[/tex]
De [tex]\color{#800000}{(iv)}[/tex], segue que
[tex]\qquad \left(\dfrac{1}{2x}-1\right)^2=0 [/tex] ; [tex]\left(\dfrac{1}{2y}-1\right)^2=0[/tex] ; [tex]\left(\dfrac{1}{2z}-1\right)^2=0, \, [/tex]
donde
[tex]\qquad \dfrac{1}{2x}-1=0 [/tex] ; [tex]\dfrac{1}{2y}-1=0[/tex] ; [tex]\dfrac{1}{2z}-1=0, \, [/tex]
e, com isso, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=y=z=\dfrac{1}{2}$} \, .[/tex]

Somando as duas equações dadas, obtemos:
[tex]\qquad \left(x^4+2x^3-y \right)+\left(y^4+2y^3-x\right)=\left(-\dfrac{1}{4}+\sqrt{3}\right)+\left(-\dfrac{1}{4}-\sqrt{3} \right)\\
\qquad \left( x^4+2x^3-x+\dfrac{1}{4}\right)+\left(y^4+2y^3-y+\dfrac{1}{4}\right)=0 \\
\qquad \left(x^2+x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y^2+y-\dfrac{1}{2}\right)^2=0.[/tex]
Perceba que temos, então, dois quadrados perfeitos cuja soma é zero; assim, cada um desses quadrados deve ser zero. Logo, [tex]x^2+x-\dfrac{1}{2}=0 \, [/tex] e [tex] \, y^2+y-\dfrac{1}{2}=0.[/tex]

• Para resolver a equação [tex]x^2+x-\dfrac{1}{2}=0 \, [/tex], calculamos [tex]\Delta=3[/tex] e obtemos [tex] x=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2}.[/tex]
• Para resolver a equação [tex]y^2+y-\dfrac{1}{2}=0 \, [/tex], calculamos [tex]\Delta=3[/tex] e obtemos [tex] y=\dfrac{-1\pm \sqrt{3}}{2}.[/tex]

Assim, as equações são satisfeitas por dois valores de [tex]x[/tex]: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \, ; \, \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$}[/tex] e por dois valores de [tex]y[/tex]: [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2} \, ; \, \dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$} \, .[/tex]

Considere [tex]k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}[/tex]. Assim,

• [tex]k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\dfrac{ax^3}{x}+\dfrac{by^3}{y}+\dfrac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{\dfrac{ax^3}{x}+\dfrac{ax^3}{y}+\dfrac{ax^3}{z}}\\
  k=\sqrt[3]{ax^3\cdot \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{ax^3\cdot 1}=x\sqrt[3]{a}.[/tex]
• [tex]k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\dfrac{ax^3}{x}+\dfrac{by^3}{y}+\dfrac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{\dfrac{by^3}{x}+\dfrac{by^3}{y}+\dfrac{by^3}{z}}\\
  k=\sqrt[3]{by^3\cdot \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{by^3\cdot 1}=y\sqrt[3]{b}.[/tex]
• [tex]k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}=\sqrt[3]{\dfrac{ax^3}{x}+\dfrac{by^3}{y}+\dfrac{cz^3}{z}}=\sqrt[3]{\dfrac{cz^3}{x}+\dfrac{cz^3}{y}+\dfrac{cz^3}{z}}\\
  k=\sqrt[3]{cz^3\cdot \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{cz^3\cdot 1}=z\sqrt[3]{c}.[/tex]

Assim, [tex]\boxed{\sqrt[3]{a}=\dfrac{k}{x}}[/tex] ; [tex]\boxed{\sqrt[3]{b}=\dfrac{k}{y}}[/tex] ; [tex]\boxed{\sqrt[3]{c}=\dfrac{k}{z}}[/tex] e, finalmente:

[tex]\qquad \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\dfrac{k}{x}+\dfrac{k}{y}+\dfrac{k}{z}=k\cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=k \cdot 1=k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}.[/tex]

Portanto, de fato, [tex]\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}.[/tex]

Solução 1:
Se [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] são números reais não nulos tais que [tex]x+y+z=0 \, [/tex], então:
[tex]\qquad x+y=-z, \, [/tex] donde [tex]x^2+y^2=z^2-2xy;[/tex]
[tex]\qquad x+z=-y, \, [/tex] donde [tex]x^2+z^2=y^2-2xz;[/tex]
[tex]\qquad y+z=-x, \, [/tex] donde [tex]y^2+z^2=x^2-2yz.[/tex]
Assim, temos que

• [tex]\dfrac{x^2+y^2}{x+y}+\dfrac{y^2+z^2}{y+z}+\dfrac{x^2+z^2}{x+z}=\dfrac{z^2-2xy}{-z}+\dfrac{x^2-2yz}{-x}+\dfrac{y^2-2xz}{-y} \, [/tex],

mas queremos mostrar que

• [tex]\dfrac{z^2-2xy}{-z}+\dfrac{x^2-2yz}{-x}+\dfrac{y^2-2xz}{-y}=\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{xz}+\dfrac{z^3}{xy}.[/tex]

Suponhamos que a igualdade seja verdadeira. Desse modo, multiplicando essa última igualdade por [tex]xyz[/tex], vem:
[tex]\qquad -xy\cdot(z^2-2xy)-yz\cdot(x^2-2yz)-xz\cdot(y^2-2xz)=x^4+y^4+z^4\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\qquad -xyz(\underbrace{x+y+z}_{0})+2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)=x^4+y^4+z^4\Leftrightarrow[/tex]
[tex]\qquad x^4+y^4+z^4=2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2)\qquad(I).[/tex]
Como as três igualdades são equivalentes, se provarmos uma delas a partir das hipóteses do problema, garantimos a validade das demais.
Prova de [tex](I)[/tex]: Dado que [tex]x+y+z=0 \, [/tex], então:
[tex]\qquad x^2+y^2+z^2=-2xy-2xz-2yz \Leftrightarrow(x^2+y^2+z^2)^2=(-2xy-2xz-2yz)^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\qquad x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2=4x^2y^2+4x^2z^2+4y^2z^2+8x^2yz+8xy^2z+8xyz^2 \Leftrightarrow[/tex]
[tex]\qquad x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2+8xyz(\underbrace{x+y+z}_{0})\Rightarrow[/tex]
[tex]\qquad x^4+y^4+z^4=2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2).[/tex]

---

---

Solução 2:
Se [tex]x[/tex], [tex]y[/tex], [tex]z[/tex] são números reais não nulos tais que [tex]x+y+z=0 \, [/tex] então:
[tex]\qquad x+y=-z \, [/tex];
[tex]\qquad x+z=-y \, [/tex];
[tex]\qquad y+z=-x \, [/tex];
Assim, temos que

• [tex]\dfrac{x^2+y^2}{x+y}+\dfrac{y^2+z^2}{y+z}+\dfrac{x^2+z^2}{x+z}=\boxed{\dfrac{x^2+y^2}{-z}+\dfrac{y^2+z^2}{-x}+\dfrac{x^2+z^2}{-y}}[/tex].

Mas observe que:
[tex]\begin{align*}
\boxed{\dfrac{x^2+y^2}{-z}+\dfrac{y^2+z^2}{-x}+\dfrac{x^2+z^2}{-y}}&=-x^2\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y}\right)-y^2\left(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)-z^2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\\
&=-x^2\dfrac{y+z}{yz} -y^2\dfrac{x+z}{xz} -z^2\dfrac{y+x}{xy} \\
&=-x^2\dfrac{(-x)}{yz}-y^2\dfrac{(-y)}{xz}-z^2\dfrac{(-z)}{xy} \\
&=\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{xz}+\dfrac{z^3}{xy}.\end{align*}[/tex]
Portanto, de fato, temos que
[tex]\qquad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{x^2+y^2}{x+y}+\dfrac{y^2+z^2}{y+z}+\dfrac{x^2+z^2}{x+z}=\dfrac{x^3}{yz}+\dfrac{y^3}{xz}+\dfrac{z^3}{xy}$}[/tex].

Para facilitar os cálculos, vamos fazer

• [tex]a=\dfrac{25}{2} \, [/tex]
• [tex] \, b=\sqrt{\dfrac{625}{4}-n}[/tex]
• [tex]x= \sqrt{\dfrac{25}{2}+\sqrt{\dfrac{625}{4}-n \, } \, } \, + \, \sqrt{\dfrac{25}{2}-\sqrt{\dfrac{625}{4}-n \, } \, }[/tex],

Assim, [tex]x=\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b} \, [/tex] e, então,
[tex]\qquad x^2=\left(\sqrt{a+b}\right)^2+2 \sqrt{a+b} \cdot \sqrt{a-b}+\left(\sqrt{a-b}\right)^2[/tex]
[tex]\qquad x^2=\left(a+b\right)+2 \sqrt{(a+b)\cdot (a-b)} +\left(a-b\right)[/tex]
[tex]\qquad x^2=2a+2\sqrt{a^2-b^2}[/tex]
[tex]\qquad x^2=2a+2\sqrt{\left(\dfrac{25}{2}\right)^2-\left(\sqrt{\dfrac{625}{4}-n}\right)^2}[/tex]
[tex]\qquad x^2=2a+2\sqrt{\dfrac{625}{4}-\left(\dfrac{625}{4}-n\right)}[/tex]
[tex]\qquad x^2=2a+2\sqrt{n}[/tex]
[tex]\qquad x^2=25+2\sqrt{n}[/tex]
[tex]\qquad x=\sqrt{25+2\sqrt{n}}.[/tex]

• Observe que o número [tex]\sqrt{\dfrac{625}{4}-n \, }[/tex] está definido; logo, [tex]\dfrac{625}{4}-n \ge 0[/tex].
  Dessa forma, [tex]\boxed{n\le \dfrac{625}{4}\approx 156} \, .[/tex]
• Queremos que [tex]x[/tex] seja um número natural, logo [tex]\sqrt{n}[/tex] deve ser um número natural.
  Para isso, [tex]n[/tex] deve ser um quadrado perfeito.

A partir dos possíveis valores para [tex]n[/tex], podemos utilizar a igualdade [tex]\boxed{x=\sqrt{25+2\sqrt{n}}}[/tex] para obter os respectivos valores de [tex]x[/tex] e verificar se esses valores são números naturais ou não. Vejamos:
► se [tex]n=144 [/tex], então [tex] x=7[/tex] e [tex]7 \in \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=121[/tex], então [tex] x=\sqrt{47}[/tex] e [tex]\sqrt{47}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=100[/tex], então [tex] x=\sqrt{45}[/tex] e [tex]\sqrt{45}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=81[/tex], então [tex] x=\sqrt{43}[/tex] e [tex]\sqrt{43}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=64[/tex], então [tex] x=\sqrt{41}[/tex] e [tex]\sqrt{41}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=49[/tex], então [tex] x=\sqrt{39}[/tex] e [tex]\sqrt{39}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=36[/tex], então [tex] x=\sqrt{37}[/tex] e [tex]\sqrt{37}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=25[/tex], então [tex] x=\sqrt{35}[/tex] e [tex]\sqrt{35}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=16[/tex], então [tex] x=\sqrt{33}[/tex] e [tex]\sqrt{33}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=9[/tex], então [tex] x=\sqrt{31}[/tex] e [tex]\sqrt{31}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=4[/tex], então [tex] x=\sqrt{29}[/tex] e [tex]\sqrt{29}\notin \mathbb{N}[/tex];
► se [tex]n=1[/tex], então [tex] x=\sqrt{27}[/tex] e [tex]\sqrt{27}\notin \mathbb{N}[/tex].
Logo, [tex]n=144[/tex] e a soma dos algarismos solicitada é [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, 9 \, $}[/tex].

Observe inicialmente que
[tex]\qquad \begin{align*}9^2+\dfrac{1}{11^2}+\dfrac{9^2}{100^2}&=9^2+\dfrac{1}{11^2}+\dfrac{9^2}{100^2}+\left(2\cdot \dfrac{9}{100}\cdot \dfrac{1}{11}-2\cdot \dfrac{9}{100}\cdot \dfrac{1}{11} \right)\\
&=9^2+\left(\dfrac{9^2}{100^2}-2\cdot \dfrac{9}{100}\cdot \dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11^2}\right)+2\cdot \dfrac{9}{100}\cdot \dfrac{1}{11} \\
&=9^2+\left(\dfrac{9}{100}-\dfrac{1}{11}\right)^2+2\cdot \dfrac{9}{100}\cdot \dfrac{1}{11}\\
&=\left(\dfrac{-1}{100\cdot 11}\right)^2+\dfrac{2\cdot 9}{100\cdot 11}+9^2\\
&=\left(\dfrac{1}{100\cdot 11}\right)^2+\dfrac{2\cdot 9}{100\cdot 11}+9^2\\
&=\left(\dfrac{1}{100\cdot 11}+9\right)^2.\end{align*}[/tex]
Agora, substituindo na expressão original, temos que:
[tex]\qquad \begin{align*} \dfrac{\sqrt{\boxed{9^2+\dfrac{1}{11^2}+\dfrac{9^2}{100^2}} \, }-\dfrac{1}{1100}}{x+1}&= \dfrac{\sqrt{\boxed{\left(\dfrac{1}{100\cdot 11}+9\right)^2} \, }-\dfrac{1}{1100}}{x+1}\\
\\
&=\dfrac{\dfrac{1}{1100}+9-\dfrac{1}{1100}}{x+1}\\
\\
&=\dfrac{9}{x+1}. \end{align*}[/tex]
Finalmente, perceba que os valores inteiros positivos de [tex]x[/tex] para os quais a expressão [tex]\dfrac{9}{x+1}[/tex] é um número inteiro são apenas [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=2$}[/tex] ou [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$x=8$}[/tex].

Observe inicialmente que
[tex]\qquad 3^2=1+8=\boxed{1+2\cdot 4};[/tex]
[tex]\qquad 4^2=1+15=\boxed{1+3\cdot 5};[/tex]
[tex]\qquad 5^2=1+24=\boxed{1+4\cdot 6};[/tex]
[tex]\qquad 6^2=1+35=\boxed{1+5\cdot 7};[/tex]
[tex]\qquad 7^2=1+48=\boxed{1+6\cdot 8};[/tex]
[tex]\qquad 8^2=1+63=\boxed{1+7\cdot 9};[/tex]
de modo geral,
[tex]\qquad n^2=1+(n^2-1)=1+\boxed{(n-1)\cdot (n+1)}.[/tex]
Com isso,
[tex]\qquad \begin{align*}3^2 &=1+2\cdot \textcolor{red}{4}\\
&=1+2\cdot \sqrt{1+3\cdot \textcolor{red}{5}}\\
&=1+2\cdot \sqrt{1+3\cdot \sqrt{1+4\cdot \textcolor{red}{6}}}\\
&=1+2\cdot \sqrt{1+3\cdot \sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \textcolor{red}{7}}}}\\
&=1+2\cdot \sqrt{1+3\cdot \sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \sqrt{1+6\cdot \textcolor{red}{8}}}}}\\
&=1+2\cdot \sqrt{1+3\cdot \sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \sqrt{1+6\cdot \sqrt{1+7\cdot \textcolor{red}{9}}}}}}\\
&=1+2\cdot \sqrt{1+3\cdot \sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \sqrt{1+6\cdot \sqrt{1+7\cdot \textcolor{red}{\cdots}}}}}} \, \, .\\
\end{align*}[/tex]
Portanto,
[tex] \qquad\sqrt{1+2\cdot \sqrt{1+3\cdot \sqrt{1+4\cdot \sqrt{1+5\cdot \sqrt{1+6\cdot \sqrt{1+7 \cdots}}}}}}=\sqrt{3^2}=|3| \, [/tex]
e, então,
[tex]\qquad \qquad \quad \quad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1\cdots}}} \, }=3$} \, [/tex].

[tex]\qquad \begin{align*}x^4+4y^4&=(x^2)^2+(2y^2)^2+4x^2y^2-4x^2y^2\\
&=\left((x^2)^2+2\cdot (x^2\cdot 2y^2)+(2y^2)^2\right)-4x^2y^2\\
&=(x^2+2y^2)^2-(2xy)^2\\
&=(x^2+2y^2+2xy)(x^2+2y^2-2xy).
\end{align*}[/tex]