Malabarismos aritméticos e algébricos – Problemas (1)

(a) Observe inicialmente que, como [tex]a+b+c=0, \, [/tex] então [tex]a+b=-c \, [/tex]; assim:
[tex]\quad a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2ac-2bc \\
\quad a^2+b^2+c^2=-2ab-2ac-2bc \\
\quad\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-ab-ac-bc=-ab-c(a+b) \\
\quad \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-ab+(a+b)^2=a^2+ab+b^2. \qquad \color{#800000}{(I)}[/tex]
Veja também que
[tex](a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)=\\
=a^3+ab^2+ac^2-a^2b-a^2c-abc+ba^2+b^3+bc^2-ab^2-abc-b^2c+ca^2+cb^2+c^3-abc-ac^2-bc^2 =\\
=a^3+b^3+c^3-3abc \, [/tex]
ou seja,
[tex]a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc). [/tex]
Assim, sendo [tex]a+b+c=0, \, [/tex] segue que
[tex]\quad a^3+b^3+c^3-3abc=0 [/tex]
[tex]\quad a^3+b^3+c^3=3abc [/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}=abc=-ab(a+b). \qquad \color{#800000}{(II)}[/tex]
Por outro lado, [tex](a+b)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5, \, [/tex] assim:
[tex]\quad -c^5=(a+b)^5=a^5+b^5+5(a^4b+2a^3b^2+2a^2b^3+ab^4)[/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=-ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)[/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=-ab(a^3+(a^2b+a^2b)+(ab^2+ab^2)+b^3)[/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=-ab((a^3+a^2b)+(a^2b+ab^2)+(ab^2+b^3))[/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=-ab[a^2(a+b)+ab(a+b)+b^2(a+b)][/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=-ab(a+b)(a^2+ab+b^2). \qquad \color{#800000}{(III)}[/tex]
Finalmente, observe que, multiplicando as igualdades [tex]\color{#800000}{(I)}[/tex] e [tex]\color{#800000}{(II)}[/tex], obtemos
[tex]\quad \begin{align*} \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2} \times \dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}&=(a^2+ab+b^2) \times (-ab(a+b))\\
&=-ab(a+b)(a^2+ab+b^2)\\
&\stackrel{\color{#800000}{(III)}}{=}\dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}.\end{align*}
[/tex]

---

---

(b) Comecemos por
[tex]\quad (a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7[/tex]
[tex]\quad -c^7=a^7+b^7+7[a^6b+3a^5b^2+5a^4b^3+5a^3b^4+3a^2b^5+ab^6][/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^7+b^7+c^7}{7}=-ab[a^5+3a^4b+5a^3b^2+5a^2b^3+3ab^4+b^5][/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^7+b^7+c^7}{7}=-ab[a^4(a+b)+2a^3b(a+b)+3a^2b^2(a+b)+2ab^3(a+b)+b^4(a+b)][/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^7+b^7+c^7}{7}=-ab(a+b)(a^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3+b^4). \qquad \color{#800000}{(I)}[/tex]
Agora, veja que
[tex]\quad \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=a^2+ab+b^2; \qquad \color{#800000}{(II)}[/tex]
e que
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5}=-ab(a+b)(a^2+ab+b^2). \qquad \color{#800000}{(III)}[/tex]
Portanto, multiplicando as igualdades [tex]\color{#800000}{(III)}[/tex] e [tex]\color{#800000}{(II)}[/tex], temos:
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \times \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-ab(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2+ab+b^2)[/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \times \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-ab(a+b)(a^2+ab+b^2)^2[/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \times \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=-ab(a+b)(a^4+b^4+2a^3b+3a^2b^2+2ab^3)[/tex]
[tex]\quad \dfrac{a^5+b^5+c^5}{5} \times \dfrac{a^2+b^2+c^2}{2}=\dfrac{a^7+b^7+c^7}{7}.[/tex]

Inicialmente, observe que [tex]\boxed{x^2=-1-x} \, [/tex].
Assim,
[tex]\qquad x^4=1+2x+x^2=1+2x-1-x=x \, [/tex],
e
[tex]\qquad x^3=x \cdot x^2=-x-x^2=-x+1+x=1.[/tex]
Desta forma, podemos escrever:

[tex]\quad \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=\left(\dfrac{x^2+1}{x}\right)^2=\left(\dfrac{-x}{x}\right)^2=1;[/tex]
[tex]\quad \left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2=\left(\dfrac{x^4+1}{x^2}\right)^2=\left(\dfrac{x+1}{-1-x}\right)^2=1;[/tex]
[tex]\quad \left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2=(1+1)^2=4;[/tex]
[tex]\quad \left(x^4+\dfrac{1}{x^4}\right)^2=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2=1.[/tex]
Da mesma forma, [tex]x^5=x^4\cdot x=x^2 \, \, [/tex] e, portanto, [tex]\left(x^5+\dfrac{1}{x^5}\right)^2=\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2=1;[/tex]
E ainda, [tex]x^6=x^5\cdot x=x^3 \, \, [/tex] e, portanto, [tex]\left(x^6+\dfrac{1}{x^6}\right)^2=\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2=4.[/tex]
Perceba que há uma periodicidade a cada três potências, de forma que a soma
[tex]\qquad \qquad \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)^2+\left(x^3+\dfrac{1}{x^3}\right)^2+\cdots+\left(x^{27}+\dfrac{1}{x^{27}}\right)^2[/tex]
pode ser calculada como sendo [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$9\cdot(1+1+4)=54$} \, .[/tex]

Observe inicialmente que, da hipótese [tex]a+b+c+d=0 \, [/tex], obtemos [tex]d=-(a+b+c) \, [/tex], donde [tex]d^3=-(a+b+c)^3.[/tex]
Assim, segue que:
[tex]\quad d^3=-(a+b+c)^3=-[a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)].[/tex]
Mas, da hipótese [tex]a^3+b^3+c^3+d^3=0 \, [/tex], também segue que [tex]d^3=-a^3-b^3-c^3 \, [/tex] logo,
[tex]\quad -[a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)]=-a^3-b^3-c^3[/tex]
[tex]\quad -a^3-b^3-c^3-3(a+b)(a+c)(b+c)=-a^3-b^3-c^3[/tex]
[tex]\quad -3(a+b)(a+c)(b+c)=0[/tex]
[tex]\quad \boxed{(a+b)(a+c)(b+c)=0}.[/tex]
Da última igualdade, concluímos que, necessariamente, [tex]\boxed{a+b=0} \, [/tex] ou [tex] \, \boxed{a+c=0} \, [/tex] ou [tex] \, \boxed{b+c=0} \, .[/tex]

Da segunda igualdade fornecida pelo problema, segue que
[tex]\quad (2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc)(a+b+c)=-6abc[/tex]
ou, ainda,
[tex]\quad (a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)(a+b+c)=-3abc.[/tex][tex]\qquad \color{#800000}{(I)}[/tex]
Mas,
[tex](a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)(a+b+c)=\\
= a^3+ab^2+ac^2-a^2b-a^2c-abc+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-abc-b^2c+a^2c+b^2c+c^3-abc-ac^2-bc^2=\\
=a^3+b^3+c^3-3abc,[/tex]
portanto, de [tex]\color{#800000}{(I)}[/tex], segue que
[tex]\quad a^3+b^3+c^3-3abc=-3abc[/tex]
e, então [tex]\boxed{a^3+b^3+c^3=0}.[/tex][tex]\qquad \color{#800000}{(II)}[/tex]
Para facilitar o entendimento do que se segue, chame [tex]\boxed{a^3=x, \, b^3=y, \, c^3=z} \, \, [/tex] e, assim, podemos reescrever a igualdade [tex]\color{#800000}{(II)}[/tex] como [tex]x+y+z=0.[/tex]
Agora, observe que, se [tex]x+y+z=0, [/tex] então [tex]\left(x+y+z\right)^2=0^2[/tex] e, também, [tex]x^2+y^2+z^2=-2xy-2xz-2yz. \, [/tex] Com isso, segue que:

• [tex](x^2+y^2+z^2)^2=(-2xy-2xz-2yz)^2 [/tex]
  [tex]x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2=4x^2y^2+4x^2z^2+4y^2z^2+8x^2yz+8xy^2z+8xyz^2 [/tex]
  [tex]x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2+8xyz\underbrace{(x+y+z)}_{0}[/tex]
  [tex]x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2[/tex]
  [tex][x^4+y^4+z^4]+x^4+y^4+z^4=[x^4+y^4+z^4]+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2[/tex]
  [tex]2x^4+2y^4+2z^4=x^4+y^4+z^4+2x^2y^2+2x^2z^2+2y^2z^2[/tex]
  [tex]\boxed{2x^4+2y^4+2z^4=(x^2+y^2+z^2)^2} \, .[/tex]

De [tex]\left(x^2+y^2+z^2 \right)^2=2(x^4+y^4+z^4), \, [/tex] como [tex]a^3=x, \, b^3=y, \, c^3=z \, \, [/tex] e [tex] \, \, a^{12}+b^{12}+c^{12}=8, \, [/tex] segue que:
[tex]\quad (a^6+b^6+c^6)^2=2(a^{12}+b^{12}+c^{12})=2\times 8,[/tex]
donde, finalmente, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$a^6+b^6+c^6=4$} \, .[/tex]

Calcularemos o valor da expressão por partes.

• Primeira Parte:
  [tex]\boxed{\sqrt[3]{3\alpha^2 -4\alpha \, }}=\sqrt[3]{3\alpha^2 -3\alpha – \alpha \, }=\sqrt[3]{3\alpha^2-3\alpha+1-\alpha^3 \, }=\sqrt[3]{(1-\alpha)^3 \, }=\boxed{1-\alpha} \, .[/tex]
• Segunda Parte:
  Observe, inicialmente, que se [tex]\alpha^3-\alpha-1=0 \, [/tex], então [tex]\alpha^3=\alpha+1.[/tex]
  [tex]\begin{align*}\boxed{\alpha \sqrt[4]{2\alpha^2 +3\alpha +2}}&=\alpha \sqrt[4]{\alpha^2+\alpha^2+\alpha+2\alpha+2}=\alpha \sqrt[4]{\alpha^2+\alpha(\alpha+1)+2(\alpha+1)}\\
  &=\alpha \sqrt[4]{\alpha^2+\alpha\alpha^3+2\alpha^3} =\alpha \sqrt[4]{\alpha^2+\alpha^4+2\alpha^3}\\
  &=\alpha \sqrt[4]{\alpha^2+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^3}=\alpha \sqrt[4]{\alpha^2(1+\alpha)+\alpha^3(1+\alpha)}\\
  &=\alpha \sqrt[4]{\alpha^2\alpha^3+\alpha^3\alpha^3}=\alpha \sqrt[4]{\alpha^5+\alpha^6}=\alpha \sqrt[4]{\alpha^5(1+\alpha)}\\
  &=\alpha \sqrt[4]{\alpha^5\alpha^3}=\alpha \sqrt[4]{\alpha^8}=\alpha\alpha^2=\alpha^3=\boxed{1+\alpha} \, .\end{align*}[/tex]

Finalmente,
[tex]\qquad \qquad \sqrt[3]{3\alpha^2 -4\alpha}+\alpha \sqrt[4]{2\alpha^2 +3\alpha +2}=\boxed{1-\alpha}+\boxed{1+\alpha}= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2$} \, .[/tex]

• Veja que
  [tex]\qquad \dfrac{1}{1+a^k}+\dfrac{1}{1+a^{-k}}=\dfrac{1+a^{-k}+1+a^k}{(1+a^{-k})(1+a^k)}=\dfrac{2+a^k+a^{-k}}{1+a^{-k}+a^k+1}=1,[/tex]

  assim, adicionando dois termos equidistantes dos extremos, bem como os extremos, obteremos sempre somas iguais a [tex]1[/tex].

• Perceba que existem [tex]4015[/tex] parcelas na adição, assim, há "[tex]2007[/tex] pares de parcelas cuja soma é [tex]1[/tex]" e "uma parcela central igual a [tex]\dfrac{1}{1+a^0}=\dfrac{1}{2}[/tex]".

Deste modo, já podemos calcular a soma total:
[tex]\qquad \qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\displaystyle\sum_{k=-2007}^{k=2007}\dfrac{1}{1+a^k}=2007+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4015}{2}$} \, .[/tex]

Observe estas duas sequências de afirmações equivalentes:

• [tex]4 \gt 2\Leftrightarrow 2 \gt \sqrt{2}\Leftrightarrow 4 \gt 2+\sqrt{2}\Leftrightarrow 2 \gt \sqrt{2+\sqrt{2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\lt\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)^{-1}.[/tex]
• [tex]9 \gt 6\Leftrightarrow 3 \gt \sqrt{6}\Leftrightarrow 9>6+\sqrt{6}\Leftrightarrow 3 \gt \sqrt{6+\sqrt{6}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{3} \lt \left(\sqrt{6+\sqrt{6}}\right)^{-1}.[/tex]

Como [tex]4>2 \, [/tex] e [tex] \, 9>6[/tex] são desigualdades trivialmente verdadeiras, segue que as desigualdades abaixo também o são:
[tex]\qquad \dfrac{1}{2}\lt \dfrac{1}{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)};[/tex][tex]\qquad \color{#800000}{(i)}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{1}{3}\lt \dfrac{1} {\left(\sqrt{6+\sqrt{6}}\right)}.[/tex][tex]\qquad \color{#800000}{(ii)}[/tex]
Dessa forma, adicionando [tex]\color{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\color{#800000}{(ii)}[/tex], vem que [tex]\boxed{\dfrac{5}{6}\lt \dfrac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6}}}}.[/tex]

(a)
[tex]\sqrt{\dfrac{1}{6}+\dfrac{\sqrt{5}}{18}}-\sqrt{\dfrac{1}{6}-\dfrac{\sqrt{5}}{18}}=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{5}}{18}}-\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{5}}{18}}=[/tex]
[tex]=\sqrt{\dfrac{6+2\sqrt{5}}{36}}-\sqrt{\dfrac{6-2\sqrt{5}}{36}}=\sqrt{\left(\dfrac{1+\sqrt{5}}{6}\right)^2}-\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{6}\right)^2}= \left|\dfrac{1+\sqrt{5}}{6}\right|-\left|\dfrac{\sqrt{5}-1}{6}\right|=[/tex]
[tex]=\dfrac{1+\sqrt{5}}{6}-\dfrac{\sqrt{5}-1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.[/tex]

---

---

(b)
[tex] \sqrt{1+\dfrac{2}{5}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{6}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{7}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{8}}\cdots \sqrt{1+\dfrac{2}{57}}\cdot\sqrt{1+\dfrac{2}{58}}=[/tex]
[tex] \sqrt{\left(1+\dfrac{2}{5}\right)\cdot \left(1+\dfrac{2}{6}\right)\cdot \left(1+\dfrac{2}{7}\right)\cdot \left(1+\dfrac{2}{8}\right)\cdot \left(1+\dfrac{2}{57}\right)\cdot \left(1+\dfrac{2}{58}\right)}=[/tex]
[tex]=\sqrt{\dfrac{7}{5}\cdot \dfrac{8}{6}\cdot \dfrac{9}{7}\cdot \dfrac{10}{8}\cdot \dfrac{11}{9}\cdot \ldots \cdot \dfrac{59}{57}\cdot \dfrac{60}{58}}=\sqrt{\dfrac{1}{5}\cdot \dfrac{1}{6}\cdot 59\cdot 60}=\sqrt{118}.[/tex]

Note que:
[tex]\,
\begin{align*}2^x.3^y &=\left(24^{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{60}}\right) \cdot \left(24^{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{60}}\right)^2 \cdot \left(24^{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{60}}\right)^3 \, \cdots \, \left(24^{\frac{1}{60}}\right)^{59}\\
&=24^{(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{60})} \cdot 24^{(\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\frac{2}{5}+\cdots+\frac{2}{60})} \cdot 24^{(\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{3}{6}+\cdots+\frac{3}{60})} \, \cdots \, 24^{\frac{59}{60}}\\
&=24^{\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{60}\right)+
\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{4}+\frac{2}{5}+\cdots+\frac{2}{60}\right)+
\left (\frac{3}{4}+\frac{3}{5}+\frac{3}{6}+\cdots+\frac{3}{60}\right)+ \cdots +
\frac{59}{60}\right]}\\
&=24^k,\end{align*}[/tex]
com
[tex]\quad
\begin{align*}k&=\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{60}\right)+
\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}+\cdots+\dfrac{2}{60}\right)+
\left (\dfrac{3}{4}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{6}+\cdots+\dfrac{3}{60}\right)+ \cdots +
\dfrac{59}{60}\\
&=\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}\right)+\left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}\right)+\cdots +\left(\dfrac{1}{60}+\dfrac{2}{60}+\cdots+\dfrac{59}{60}\right)\\
&=\dfrac{1}{2}+1+\dfrac{3}{2}+2+\cdots+\dfrac{59}{2}\\
&=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{2}+\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2}+\cdots+\dfrac{59}{2}\\
&=\dfrac{1}{2}\left(1+2+3+\cdots + 59\right)\\
&= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(1+59)\cdot 59}{2}\\
&=15\times 59. \end{align*} [/tex]

Mas [tex]2^x\cdot3^y=24^k[/tex] pode ser reescrito como sendo [tex]2^x\cdot3^y=(2^3\cdot3^1)^{15\cdot59}=2^{3\cdot 15\cdot59}\cdot3^{1\cdot 15\cdot59}[/tex], donde [tex]x=45\cdot59 \, [/tex] e [tex] \, y=15\cdot59.[/tex]
Finalmente, [tex]x+y=45\cdot59+15\cdot59=60\cdot59=3540.[/tex]

Como [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são números reais não nulos, temos as seguintes equivalências:
[tex]\quad a^2b^2(a^2b^2+4)=2(a^6+b^6)\iff a^4b^4+4a^2b^2=2a^6+2b^6\iff\\
\quad \iff a^4b^4=2a^6+2b^6-4a^2b^2\iff\\
\quad \iff a^4b^4-2a^6=2b^6-4a^2b^2 \iff a^4\left(b^4-2a^2\right)=2b^2\left(b^4-2a^2\right) \iff \\
\quad \iff a^4\left(b^4-2a^2\right)-2b^2\left(b^4-2a^2\right)=0 \iff \left(a^4-2b^2\right)\left(b^4-2a^2\right)=0.[/tex]
Logo [tex]a^4-2b^2=0 \, [/tex] ou [tex]b^4-2a^2=0[/tex]. Agora, veja ainda que:
[tex]\quad a^4-2b^2=0\iff a^4=2b^2 \iff \dfrac{a^2}{b}=\pm\sqrt{2};[/tex]
[tex]\quad b^4-2a^2=0\iff b^4=2a^2 \iff \dfrac{b^2}{a}=\pm\sqrt{2}.[/tex]
Sendo assim, temos que [tex]\dfrac{a^2}{b}=\pm\sqrt{2}; \, [/tex] ou [tex]\dfrac{b^2}{a}=\pm\sqrt{2}, [/tex] e, portanto, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] não podem ser ambos racionais, pois, se o fossem, [tex]\dfrac{a^2}{b}[/tex] e [tex] \dfrac{b^2}{a}[/tex] também seriam e aí teríamos uma contradição, já que [tex]\sqrt{2} \, [/tex] e [tex] \, -\sqrt{2}[/tex] são números irracionais.

Vamos começar desenvolvendo a expressão referente ao número [tex]\beta[/tex]:
[tex]\qquad \beta=\sqrt{5+2\sqrt{3} \, }+\sqrt{18-2\sqrt{3}+2\sqrt{65-26\sqrt{3}} \, }[/tex]
[tex]\qquad \beta=\sqrt{5+2\sqrt{3} \, }+\sqrt{18-2\sqrt{3}+2\sqrt{13}\sqrt{5-2\sqrt{3}} \, }[/tex]
[tex]\qquad \beta=\sqrt{5+2\sqrt{3}}+\sqrt{\left(\sqrt{13}+\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^2}[/tex]
[tex]\qquad \beta=\sqrt{5+2\sqrt{3}}+\sqrt{13}+\sqrt{5-2\sqrt{3} \, }.[/tex][tex]\qquad \color{#800000}{(i)}[/tex]
Assim, segue por [tex]\color{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad \begin{align*}\left(\beta-\sqrt{13}\right)^2 &=\left(\sqrt{5+2\sqrt{3}}+\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)^2\\
&=\left(5+2\sqrt{3}\right)+2\left(\sqrt{5+2\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)+\left(5-2\sqrt{3}\right)\\
&=5+\cancel{2\sqrt{3}}+2\left(\sqrt{5+2\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)+5-\cancel{2\sqrt{3}}\\
&=10+2\left(\sqrt{5+2\sqrt{3}}\right)\left(\sqrt{5-2\sqrt{3}}\right)\\
&=10+2\sqrt{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}\\
&=10+2\sqrt{(5)^2-(2\sqrt{3})^2}\\
&=10+2\sqrt{25-12}\\
&=10+2\sqrt{13},\end{align*}[/tex]
e assim, [tex]\left(\beta-\sqrt{13}\right)^2=10+2\sqrt{13}.[/tex][tex]\qquad \color{#800000}{(ii)}[/tex]
Por outro lado, [tex]\alpha-\sqrt{13}=\sqrt{10+2\sqrt{13}}[/tex], donde
[tex]\qquad \left(\alpha-\sqrt{13}\right)^2=\left(\sqrt{10+2\sqrt{13}}\right)^2 =10+2\sqrt{13}[/tex]
ou seja [tex]\left(\alpha-\sqrt{13}\right)^2=10+2\sqrt{13}.[/tex][tex]\qquad \color{#800000}{(iii)}[/tex]
Com isso, por [tex]\color{#800000}{(ii)} \, [/tex] e [tex] \, \color{#800000}{(iii)}[/tex], [tex]\left(\alpha-\sqrt{13}\right)^2=\left(\beta-\sqrt{13}\right)^2 \, [/tex], e, então:
[tex]\qquad \left(\alpha-\sqrt{13}\right)^2=\left(\beta-\sqrt{13}\right)^2[/tex]
[tex]\qquad \sqrt{\left(\alpha-\sqrt{13}\right)^2}=\sqrt{\left(\beta-\sqrt{13}\right)^2}[/tex]
[tex]\qquad |\alpha-\sqrt{13}|=|\beta-\sqrt{13}|.[/tex][tex]\qquad \color{#800000}{(iv)}[/tex]
Como [tex]\alpha-\sqrt{13}=\sqrt{10+2\sqrt{13}} \, \gt 0 \, [/tex] e [tex] \, \beta-\sqrt{13}=\sqrt{5+2\sqrt{3}}+\sqrt{5-2\sqrt{3}} \, \gt 0 \, [/tex], segue de [tex]\color{#800000}{(iv)}[/tex] que [tex]\alpha-\sqrt{13}=\beta-\sqrt{13}, \, [/tex] ou ainda, que [tex]\boxed{\alpha=\beta} \, .[/tex]

Seja [tex]a=123457+10^{999} \, [/tex], assim [tex] \, \, \dfrac{123456+10^{999}}{123457+10^{999}}=\dfrac{a-1}{a} \, \, [/tex] e [tex] \, \, \dfrac{123457+10^{999}}{123458+10^{999}}=\dfrac{a}{a+1}.[/tex]

Observe que, agora, queremos comparar [tex]\dfrac{a-1}{a}[/tex] com [tex]\dfrac{a}{a+1}[/tex] e o que sabemos da “lei da tricotomia” é apenas que:

• ou [tex] \, \dfrac{a-1}{a}\lt \dfrac{a}{a+1}, \, [/tex]
• ou [tex] \, \dfrac{a-1}{a}\gt \dfrac{a}{a+1}, \, [/tex]
• ou ainda [tex] \, \dfrac{a-1}{a} = \dfrac{a}{a+1}, \, [/tex]

e somente uma dessa opções.
Mas, por outro lado, sabemos que determinadas manipulações algébricas podem ser feitas tanto para desigualdades como para igualdades, então, indicando por [tex]\boxed{?}[/tex] qualquer um dos sinais [tex] \, \lt \, , \, \gt \, , \, = \, , \, [/tex] e observando que [tex]a \gt 0, \, [/tex] [tex]a+1 \gt 0 \, [/tex] e [tex]a-1 \gt 0, \, [/tex] segue que:

[tex]\qquad \dfrac{a-1}{a} \, \boxed{?} \, \dfrac{a}{a+1} \iff (a-1)(a+1) \, \boxed{?} \, a^2 \iff a^2-1 \, \boxed{?} \, a^2.[/tex]
Como sabemos que [tex]a^2-1 \lt a^2, \, [/tex] então
[tex]\qquad a^2-1 \, \lt \, a^2 \iff (a-1)(a+1) \, \lt \, a^2 \iff \dfrac{a-1}{a} \, \lt \, \dfrac{a}{a+1}.[/tex]
Consequentemente, das três opções, temos [tex] \, \dfrac{a-1}{a} \, \lt \, \dfrac{a}{a+1} \, [/tex] e, com isso, [tex] \, \dfrac{123457+10^{999}}{123458+10^{999}} \, [/tex] é o maior dentre os dois números!