Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Camila só pode sair à noite, se obtiver autorização de um dos seus pais.
Ela sabe que o pai é menos rígido do que a mãe e que, portanto, deixa-a sair mais facilmente. No entanto, se pedir dois dias seguidos ao mesmo progenitor, a resposta do segundo dia será sempre diferente da do primeiro, isto é, nenhum dos pais dá a mesma resposta em dois dias seguidos.
É claro, também, que se pedir a um deles e a resposta for negativa, ela não poderá sair.
- Camila gostaria de sair duas noites seguidas: sexta e sábado, ou sábado e domingo. Como deve fazer para aumentar as possibilidades de conseguir realizar sua vontade?
- No fim de semana seguinte, Camila combinou com seus amigos de sair nas três noites. Como deve proceder dessa vez?
Solução
Muitos dos que discutiram o problema perceberam que adiantar-se é uma boa opção; além disso, para a primeira questão levantada, começar pedindo para a mãe, de fato, é melhor. Compartilhamos, aqui, a discussão completa para ambas as questões propostas.
A surpresa fica por conta da segunda questão!
- No primeiro fim de semana, o objetivo da Camila é sair em duas noites consecutivas. Terá de começar por pedir autorização ao pai, que é menos rígido? Vamos ver que não.
(a) Se começar pelo pai e ele autorizar, no segundo dia vai ter de conseguir que a mãe diga que sim (o pai diria que não).
Se começar pelo pai e ele não autorizar, no segundo dia volta a pedir-lhe porque já sabe que a resposta tem de ser afirmativa. Para a terceira noite terá de ser a mãe a dizer que sim.
Em qualquer dos casos, o objetivo das duas noites seguidas estará dependente da resposta que a mãe der quando a Camila lhe pedir. Entretanto a mãe é menos liberal que o pai.
(b) Inversamente, se ela começar por se dirigir à mãe, conseguirá sempre uma autorização: ou logo para a primeira noite ou então para a segunda, caso obtenha uma resposta negativa na primeira. A possibilidade de sair duas noites seguidas estará agora dependente da autorização do pai para a segunda saída. Como o pai é menos rígido, as possibilidades de Camila sair crescem. - Passemos agora às três noites do segundo fim de semana.
À primeira vista, esta segunda parte do problema pareceria mais simples, mas não é, como veremos.
Numa primeira abordagem somos levados a concluir que, sendo o pai mais permissivo, o que Camila teria a fazer era pedir-lhe na primeira noite. Se ele não autorizasse, o fim de semana estaria perdido e à Camila só restaria chorar e sonhar com o fim de semana seguinte. Se dissesse que sim, a primeira noite estaria ganha. No segundo dia não poderia voltar a pedir ao pai: a resposta seria negativa. Teria de pedir à mãe e esperar que a resposta fosse positiva. Finalmente, no último dia, teria de pedir ao pai outra vez. Em resumo, teria de conseguir duas respostas positivas do pai e uma da mãe. Se tivesse começado pela mãe, as possibilidades de êxito seriam menores visto que, dessa forma, precisaria duas autorizações da mãe e uma só do pai.
Supondo que o pai autorize a saída noturna em 60% das vezes em que ela pede e a mãe em 50%, então Camila atingiria seu objetivo com probabilidade de 0,6 x 0,5 x 0,6 = 0,18, ou seja, em 18% dos casos ela teria sucesso em sua investida.
Entretanto, é possível melhorar essa marca, com um pouco mais de planejamento. Para isso, Camila, deve iniciar a sua investida na quarta-feira!!! Embora não queira sair nessa noite, conversa com o pai e pede-lhe para sair. Avaliemos as possibilidades.
Se ele disser que sim, ela sai e dá uma voltinha. Na quinta-feira volta a pedir ao pai e a resposta é obrigatoriamente negativa. Na sexta, o pai tem que dizer que sim. Até aqui a situação é idêntica à estratégia anterior: em 60% dos casos, Camila tem autorização para a primeira noite.
Porém, devemos considerar também a negativa do pai na primeira noite. Com efeito, se o pai disser que não na quarta-feira, nem tudo está perdido. Na quinta, Camila pede à mãe para sair. Se ela disser que não, é obrigada a dizer que sim na sexta-feira. Se disser que sim, Camila ainda tem possibilidades de sair na sexta pedindo ao pai.
Podemos fazer as contas para calcular as probabilidades de êxito.
Se o pai diz “SIM” na quarta-feira: 0,6 x 0,5 x 0,6 = 0,18.
Se o pai diz “NÃO” na quarta-feira e a mãe diz “NÃO” na quinta-feira: 0,4 x 0,5 x 0,6 x 0,5 = 0,06.
Se o pai diz “NÃO” na quarta-feira e a mãe diz “SIM” na quinta-feira: 0,4 x 0,5 x 0,6 x 0,5 x 0,6 = 0,036.
Como devemos considerar todas as possibilidades, devemos somar, então, suas probabilidades de êxito, o que resulta em 0,276, ou seja, Camila terá 27,6% de possibilidades de conseguir sair nas três noites do fim de semana. Bem melhor que os 18% da estratégia anterior.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Cabeça de Pirâmide; Erudio; FOX; IRON BRAIN; Matgloriosos; Matemaníacos do Medalha Milagrosa; Matemática na ETEC; Math Error; Obmep estudos; OMXM; Os Geométricos.