.Dispositivo prático: Divisores positivos de um número natural

• divide-se o número [tex]n[/tex] pelo seu menor divisor primo (digamos, [tex]p_1[/tex]);
• divide-se o quociente obtido (digamos, [tex]a_1[/tex]) pelo seu menor divisor primo (digamos, [tex]p_2[/tex]);
• divide-se o quociente obtido (digamos, [tex]a_2[/tex]) pelo seu menor divisor primo (digamos, [tex]p_3[/tex]);
• procede-se da mesma forma com cada quociente obtido, até se encontrar um quociente primo, que ao ser dividido pelo seu menor divisor primo (ele mesmo), resulte em 1.

Esses números obtidos são colocados, sucessivamente, em duas colunas:

• na coluna da esquerda, são colocados os quocientes obtidos, conforme eles aparecem, abaixo do número a ser fatorado;
• na coluna da direita, são colocados os divisores primos, do menor para o maior e ao lado do respectivo número que cada um divide.

Utilizando a notação acima:

• [tex]n[/tex] dividido por [tex]p_1[/tex] resulta no quociente [tex]a_1[/tex];
• [tex]a_1[/tex] dividido por [tex]p_2[/tex] resulta no quociente [tex]a_2[/tex];
• [tex]a_2[/tex] dividido por [tex]p_3[/tex] resulta no quociente [tex]a_3[/tex].
• Prosseguimos assim, até aparecer o quociente [tex]1[/tex].

Os divisores de número natural [tex]n[/tex], [tex]n\gt 1[/tex], podem ser assim obtidos:

• Fazemos a decomposição do número [tex]n[/tex] em fatores primos, utilizando o Dispositivo Prático 1.
• Feita a decomposição, fazemos um segundo traço vertical, à direita dos fatores primos, obtendo, assim, uma terceira coluna na qual iremos escrever os divisores de [tex]n[/tex].
• Nessa terceira coluna, na linha acima da linha que contém o menor número primo encontrado ([tex]p_1[/tex]), escrevemos o número 1, pois ele é divisor de qualquer número.
• Multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos na terceira coluna, ao lado do respectivo fator primo utilizado, eliminando-se as eventuais duplicidades (divisores que já foram encontrados anteriormente).
• Prosseguimos com esse procedimento até esgotarmos os fatores primos do número [tex]n[/tex]. O último produto obtido será o próprio [tex]n[/tex], que é o maior divisor possível.

[tex]\begin{array}{c} \hspace{1.5 cm} \end{array} \begin{array}{l} \, 1 \\ \hline \end{array}[/tex]
[tex] \begin{array}{r|l} n & p_1 & d_1=p_1\cdot 1\\a_1 & p_2 & d_2=p_2\cdot 1; \, d_3=p_2\cdot d_1 \\a_2 & p_3 & d_4=p_3\cdot 1; \, d_5=p_3\cdot d_1; \, d_6=p_3\cdot d_2; \, d_7=p_3\cdot d_3
\\a_3 & p_4 & d_8=p_4\cdot 1; \, d_9=p_4\cdot d_1; \, d_{10}=p_4\cdot d_2; \, d_{11}=p_4\cdot d_3;
\\ & & d_{12}=p_4\cdot d_4; \, d_{13}=p_4\cdot d_5; \, d_{14}=p_4\cdot d_6; \, d_{15}=p_4\cdot d_7
\\ \vdots & \vdots & \vdots \\ p_j & p_j & p_j\cdot 1; \, \quad \cdots \, \quad ; \, n \\ 1 \, & \, & \end{array}[/tex]