Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Extraído do Material do PECI) Sejam [tex]x_1, y_1, x_2, y_2[/tex] números reais satisfazendo as equações
- [tex]x_1^2+5x_2^2=10[/tex],
- [tex]x_2y_1-x_1y_2=5[/tex],
- [tex]x_1y_1+5x_2y_2=\sqrt{105}[/tex].
Determinar o valor da expressão [tex]y_1^2+5y_2^2[/tex].
Solução
Vamos iniciar calculando o produto [tex](x_1^2+5x_2^2)(y_1^2+5y_2^2)[/tex]:
[tex]\qquad (x_1^2+5x_2^2)(y_1^2+5y_2^2)=x_1^2y_1^2+5x_1^2y_2^2+5x_2^2y_1^2+25x_2^2y_2^2[/tex].
Agora, vamos adicionar e subtrair a expressão [tex]10x_1y_1x_2y_2[/tex] no segundo membro da igualdade anterior:
[tex]\;\;(x_1^2+5x_2^2)(y_1^2+5y_2^2)=x_1^2y_1^2+10x_1y_1x_2y_2-10x_1y_1x_2y_2+5x_1^2y_2^2+5x_2^2y_1^2+25x_2^2y_2^2[/tex]
[tex]\;\;(x_1^2+5x_2^2)(y_1^2+5y_2^2)=(x_1^2y_1^2+10x_1y_1x_2y_2+25x_2^2y_2^2)+5(x_1^2y_2^2-2x_1y_1x_2y_2+x_2^2y_1^2).[/tex]
Observe que há dois quadrados perfeitos no segundo membro da última igualdade:
[tex]\qquad (x_1^2+5x_2^2)(y_1^2+5y_2^2)=(x_1y_1+5x_2y_2)^2+5(x_2y_1-x_1y_2)^2[/tex].
Finalmente, como sabemos que [tex]\fcolorbox{red}{#ffffff}{$ x_1^2+5x_2^2=10$}[/tex], [tex]\fcolorbox{blue}{#ffffff}{$x_2y_1-x_1y_2=5$}[/tex] e [tex]\fcolorbox{#FF00FF}{#ffffff}{$x_1y_1+5x_2y_2=\sqrt{105}$}[/tex], temos
[tex]\qquad \textcolor{red}{10}(y_1^2+5y_2^2)=(\textcolor{#FF00FF}{\sqrt{105}})^2+\textcolor{blue}{5}(5)^2[/tex]
donde
[tex]\qquad 10(y_1^2+5y_2^2)=105+125=230[/tex]
[tex]\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$y_1^2+5y_2^2=23$}\,.[/tex]
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