Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Elementos de Aritmética; Abramo Hefez – Adaptado)
(a) Observe estes exemplos:
- [tex] 10^{2}-1=100-1=99\, [/tex] e [tex]99[/tex] é divisível por [tex] 9 [/tex], pois [tex]99=9\cdot 11[/tex];
- [tex] 10^{3}-1=1000-1=999\,[/tex] e [tex]999[/tex] é divisível por [tex] 9 [/tex], pois [tex]999=9\cdot 111[/tex];
- [tex] 10^{4}-1=10000-1=9999\,[/tex] e [tex]9999[/tex] é divisível por [tex] 9 [/tex], pois [tex]9999=9\cdot 111[/tex] .
Mostre que a propriedade destacada em cada um deles é sempre verdadeira, ou seja, mostre que:
► Se [tex]n[/tex] é um número natural não nulo, então [tex]10^{n}-1[/tex] é divisível por [tex]9[/tex].
(b) Como já sabemos que [tex]10^{n}-1[/tex] é divisível por [tex]9[/tex], para qualquer número natural não nulo [tex]n[/tex], então podemos afirmar que [tex]\dfrac{10^n-1}{9}[/tex] é um número inteiro e, assim, pode ou não ser múltiplo de [tex]9[/tex]. Por exemplo,
- [tex]\dfrac{10^5-1}{9}=\dfrac{100000-1}{9}=\dfrac{99999}{9}=11111[/tex] e [tex]11111[/tex] não é um múltiplo de [tex]9[/tex], uma vez que a soma de seus algarismos não é um número divisível por [tex] 9[/tex] ( [tex]1+1+1+1+1=5[/tex]);
mas
- [tex]\dfrac{10^9-1}{9}=\dfrac{1000000000-1}{9}=\dfrac{999999999}{9}=111111111[/tex] e [tex]111111111[/tex] é um múltiplo de [tex]9[/tex], já que a soma de seus algarismos é um número divisível por [tex] 9[/tex] ( [tex]1+1+1+1+1+1+1+1+1=9[/tex]).
Neste item, vamos ver que o fato de um número da forma [tex]\dfrac{10^n-1}{9}[/tex] ser um múltiplo de [tex]9[/tex] está intimamente relacionado com o valor do número [tex]n[/tex]. Mostre agora que:
► Se [tex]n[/tex] é um número natural não nulo tal que [tex]\dfrac{10^n-1}{9}[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex], então [tex]n[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex].
Lembretes
(1) Critério de divisibilidade por [tex]9[/tex]: Para um número natural ser divisível por [tex]9[/tex] é necessário e suficiente que a soma de seus algarismos seja divisível por [tex]9[/tex].
(2) Se [tex]a[/tex] é um número real e [tex]m[/tex] é um número natural não nulo, então
[tex]\qquad \qquad a^{m}-1=(a-1)(a^{m-1}+a^{m-2} +⋯+a+1)[/tex]
Solução
(a) Se [tex]n[/tex] é um número natural não nulo, vemos que [tex] 10^n-1=\underbrace{99 \dots 9}_{n\,dígitos}\,[/tex], ou seja, [tex] 10^n-1[/tex] é um número natural com [tex]n[/tex] dígitos [tex]9[/tex].
Assim, se somarmos os [tex]n[/tex] algarismos do número [tex]10^{n}-1[/tex], obteremos [tex] \underbrace{9+9+ \dots 9}_{n\,parcelas}=9n\,[/tex], ou seja, a soma será um múltiplo de [tex]9[/tex].
Segue, então, do critério de divisibilidade por [tex]9[/tex] que [tex]\boxed{10^{n}-1}[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex].
(b) Seja [tex]n[/tex] um número natural não nulo tal que [tex]\dfrac{10^n-1}{9}[/tex] é múltiplo de [tex]9\,.[/tex]
Observe que:
[tex]\qquad \begin{align*}\dfrac{10^n -1}{9}&=\dfrac{10^{n} -1}{10-1} \\
\qquad &\stackrel{\textcolor{#800000}{Lembrete\, (2)}}{=} \dfrac{(10-1)(10^{n-1} + 10^{n-2} + \dots + 10+1)}{(10-1)}\\
\qquad &= 10^{n-1}+10^{n-2}+\dots+10+1\\
\qquad &= (10^{n-1}-1)+1+(10^{n-2}-1)+1+\dots+(10-1)+1+1\\
\qquad &= (10^{n-1}-1)+(10^{n-2}-1)+\dots+(10-1)+n\, ,
\end{align*}[/tex]
logo,
[tex]\qquad n=\dfrac{10^n -1}{9}-[(10^{n-1}-1)+(10^{n-2}-1)+\dots+(10-1)]\,.\qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Dessa forma,
- por hipótese, [tex]\dfrac{10^{n}-1}{9}[/tex] é múltiplo de [tex]9[/tex] e
- pelo item (a), cada parcela de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] é da forma [tex]10^{k} -1[/tex] e, portanto, também é múltipla de [tex]9[/tex],
assim, como a soma e a diferença de múltiplos de [tex]9[/tex] ainda é divisível por [tex]9[/tex], [tex]n[/tex] também é múltiplo de [tex]9[/tex].
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