Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Um mágico e sua assistente realizam um truque com cartas.
O mágico entrega um baralho a um membro da plateia e solicita que este embaralhe as 52 cartas do baralho, retire aleatoriamente cinco cartas e entregue-as à sua assistente.
A assistente olha as cartas e as coloca em uma fila, da esquerda para a direita: uma com a face voltada para baixo (não necessariamente a primeira) e as outras com a face para cima.
O mágico deve adivinhar a carta que está com a face para baixo.
Prove que é possível definir um esquema que permita que o mágico sempre adivinhe qual é a carta misteriosa…
Solução
A ideia é tentar criar algum código que permita a “comunicação” entre o mágico e a sua assistente.
Para isso, vamos inicialmente fazer uma correspondência entre as cartas do baralho e os números de [tex]1[/tex] a [tex]52[/tex] do seguinte modo:
[tex] (\mathbf{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}) \Longleftrightarrow (\mathbf{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 })[/tex]
[tex] (\mathbf{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}) \Longleftrightarrow (\mathbf{14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26 })[/tex]
[tex] (\mathbf{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}) \Longleftrightarrow (\mathbf{27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39})[/tex]
[tex](\mathbf{A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K}) \Longleftrightarrow (\mathbf{40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52 })[/tex]
Dessa forma, individualmente as cartas estão associadas a números; agora, o nosso próximo passo será olhá-las em grupos de quatro e de alguma forma vincular o valor associado a uma carta qualquer do baralho a quatro outras cartas quaisquer. Vamos lá!
Dadas quatro cartas do baralho, vamos usar o número associado a cada uma delas e colocá-las em ordem numérica crescente. Para um melhor entendimento da estratégia a ser elaborada, vamos denotar as cartas devidamente ordenadas por [tex]a, b, c, d[/tex]: [tex]a[/tex] é a carta com menor valor numérico associado dentre as quatro e [tex]d[/tex], a maior. Observe que podemos permutar cada escolha de quatro cartas [tex]\{a, b, c, d\}[/tex] de [tex]4![/tex] modos. Estes [tex]4![/tex] modos podem ser ordenados, por exemplo, tomando a ordem lexicográfica (isto é, a ordem do dicionário).
Imagine que as permutações foram colocadas em um dicionário. A sequência [tex]abcd[/tex] seria a primeira a aparecer, [tex]abdc[/tex] seria a segunda, enquanto [tex]dcba[/tex] seria a última. A seguir, fazemos corresponder a cada permutação a sua posição no dicionário. Deste modo, a ordem [tex]abcd[/tex] corresponde ao número [tex]1[/tex], enquanto [tex]cbad[/tex] e [tex]dcba[/tex] correspondem aos números [tex]15[/tex] e [tex]24[/tex], respectivamente. Observe:
- [tex] \begin{cases}\begin{array}{cccc}
& abcd \longleftrightarrow 1 & \qquad bacd \longleftrightarrow 7 & \qquad cabd \longleftrightarrow 13 & \qquad dabc \longleftrightarrow 19\\
& abdc \longleftrightarrow 2 & \qquad badc \longleftrightarrow 8 & \qquad cadb \longleftrightarrow 14 & \qquad dacb \longleftrightarrow 20\\
& acbd \longleftrightarrow 3 & \qquad bcad \longleftrightarrow 9 & \qquad cbad \longleftrightarrow 15 & \qquad dbac \longleftrightarrow 21\\
& acdb \longleftrightarrow 4 & \qquad bcda \longleftrightarrow 10 & \qquad cbda \longleftrightarrow 16 & \qquad dbca \longleftrightarrow 22\\
& adbc \longleftrightarrow 5 & \qquad bdac \longleftrightarrow 11 & \qquad cdab \longleftrightarrow 17 & \qquad dcab \longleftrightarrow 23\\
& adcb \longleftrightarrow 6 & \qquad bdca \longleftrightarrow 12 & \qquad cdba \longleftrightarrow 18 & \qquad dcba \longleftrightarrow 24\\
\end{array}\end{cases}[/tex]
Perfeito, com quatro cartas pudemos produzir [tex]24[/tex] números, só que precisamos de [tex]52[/tex].
Bem, podemos dobrar a quantidade de números dobrando a quantidade de sequências formadas com as quatro cartas colocando a carta oculta antes ou depois do bloco de quatro cartas.
Seja [tex]X[/tex] a carta oculta:
- à sequência [tex]X \boxed{bloco}[/tex] associamos o mesmo número associado à sequência [tex]\boxed{bloco}[/tex];
- à sequência [tex]\boxed{bloco} X[/tex] associamos o número associado à sequência [tex]\boxed{bloco}[/tex] acrescido de [tex]24[/tex].
Por exemplo, as sequências [tex]X\boxed{cbad}[/tex] e [tex]\boxed{cbad}X[/tex] correspondem, respectivamente, aos números [tex]15 \, [/tex] e [tex] \, 15 + 24 = 39[/tex] que são, nesta ordem, as cartas [tex]2[/tex] de espadas e [tex]\mathbf K[/tex] de ouros.
Deste modo, conseguimos gerar [tex]2 \times 4! = 48[/tex] possíveis códigos que permitem codificar e decodificar qualquer uma das [tex]52 – 4 = 48[/tex] primeiras cartas do baralho ordenado.
Faltam, agora, apenas códigos para as quatro últimas cartas: [tex]\mathbf{10}[/tex], [tex]\mathbf {J}[/tex], [tex]\mathbf Q[/tex] e [tex]\mathbf K[/tex] de paus. Vamos a eles:
- qualquer sequência com a carta desconhecida na segunda posição (tipo [tex]aXbdc[/tex]) indica [tex]\mathbf {10}[/tex] de paus;
- qualquer sequência com a carta desconhecida na terceira posição (tipo [tex]abXdc[/tex]) indica [tex]\mathbf J[/tex] de paus;
- qualquer sequência com a carta desconhecida na quarta posição (tipo [tex]abdXc[/tex]) indica [tex]\mathbf Q[/tex] de paus;
- qualquer sequência com a carta desconhecida colocada horizontalmente em qualquer posição (ou qualquer combinação diferente das [tex]24[/tex] fixadas) indica [tex]\mathbf K[/tex] de paus.
Pronto, todas as cartas do baralho estão identificadas pela posição de quatro cartas quaisquer, a partir do ordenamento em ordem crescente dos números a elas associados e da posição da carta oculta
Vejamos um exemplo: suponhamos que alguém da plateia escolheu as cartas [tex]3[/tex] de ouros, [tex]\mathbf J[/tex] de espadas, [tex]\mathbf Q[/tex] de copas, [tex]4[/tex] de paus e [tex]10[/tex] de ouros. Admita que a assistente resolveu esconder a carta [tex]4[/tex] de paus (carta [tex]43[/tex]).
(1) Colocando as outras quatro cartas em ordem crescente dos números associados a elas, obtemos:
[tex]\qquad \qquad \begin{align*}
{\mathbf Q}\heartsuit & \Leftrightarrow a\\
{\mathbf J} \spadesuit &\Leftrightarrow b\\
3 \diamondsuit &\Leftrightarrow c\\
10 \diamondsuit &\Leftrightarrow d \end{align*}[/tex]
(2) Como [tex]24 \lt 43 \le 48[/tex], a assistente deve colocar a carta misteriosa após o bloco de cartas. Além disso, [tex]43 – 24 = 19.[/tex]
(3) No nosso dicionário, [tex]19[/tex] corresponde à sequência [tex]dabc[/tex], então a sequência a ser mostrada deve ser [tex]dabcX[/tex].
(4) Portanto, a assistente do mágico deve mostrar a seguinte sequência de cartas:
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 10\diamondsuit\quad {\mathbf Q}\heartsuit\quad {\mathbf J}\spadesuit \quad 3\diamondsuit\quad X[/tex]
(5) O mágico vê a sequência
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 10\diamondsuit\quad {\mathbf Q}\heartsuit\quad {\mathbf J}\spadesuit \quad 3\diamondsuit\quad X[/tex]
e mentalmente coloca as quatro cartas com as faces voltadas para cima em ordem crescente dos números associados a elas:
[tex]\qquad \qquad \begin{align*}
{\mathbf Q}\heartsuit & \Leftrightarrow a\\
{\mathbf J} \spadesuit &\Leftrightarrow b\\
3 \diamondsuit &\Leftrightarrow c\\
10 \diamondsuit &\Leftrightarrow d \end{align*}[/tex]
(6) O mágico interpreta, então, a sequência de cartas
[tex] \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, 10\diamondsuit\quad {\mathbf Q}\heartsuit\quad {\mathbf J}\spadesuit \quad 3\diamondsuit\quad X[/tex]
como [tex]dabcX[/tex] e observa que, no nosso dicionário, [tex]dabc[/tex] corresponde ao número [tex]19[/tex].
(7) Como a carta misteriosa está após o bloco de cartas, a sequência [tex]dabcX[/tex] corresponde ao número [tex]24 + 19 = 43[/tex].
(8) O número [tex] 43[/tex] no nosso dicionário correspondente à carta [tex]4[/tex] de paus.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.