Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Mostre que a equação [tex]x^3-7y^2=5 [/tex] não possui solução formada por números naturais.
Solução
Suponhamos que exista uma solução para a equação [tex]x^3-7y^2=5 [/tex], com [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] sendo números naturais.[tex] \, \, \\[/tex]
Observe que podemos rescrever a equação original como [tex]x^3-5=7y^2.[/tex] Com isso, como o número [tex]7y^2[/tex] é um múltiplo de [tex]7[/tex], o número [tex]x^3-5[/tex] também deverá ser um múltiplo de [tex]7[/tex].
Pelo algoritmo da divisão, podemos escrever [tex]x=7q+r[/tex], com [tex]q,r\in \mathbb{N}[/tex] e [tex]0\leq r \lt 7[/tex]. Assim:
[tex] \, \, \, \, \\
\qquad x^3=(7q+r)^3=7^3+3(7q)^2r+3(7q)r^2+r^3=7(7^2+21q^2r+3qr^2)+r^3\\
\\[/tex]
e, com isso,
[tex] \, \, \\
\qquad \boxed{x^3-5}=(7q+r)^3-5=\boxed{7(7^2q^3+21q^2r+3qr^2)}+\boxed{r^3-5}.\\
[/tex]
Como [tex]\boxed{x^3-5}[/tex] é um múltiplo de [tex]7[/tex] e [tex]\boxed{7(7^2q^3+21q^2r+3qr^2)}[/tex] também é um múltiplo de [tex]7[/tex], segue que [tex]\boxed{r^3-5}[/tex] deve ser um múltiplo de [tex]7[/tex] também.
Como [tex]0\leq r \lt 7[/tex], vamos observar os valores [tex]r^3-5[/tex] para cada valor de [tex]r[/tex]:
- para [tex]r=0, \, [/tex] [tex]r^3-5=-5[/tex];
- para [tex]r=1, \, [/tex] temos [tex]r^3-5=-4[/tex];
- para [tex]r=2, \, [/tex] temos [tex]r^3-5=3[/tex];
- para [tex]r=3, \, [/tex] temos [tex]r^3-5=22[/tex];
- para [tex]r=4, \, [/tex] temos [tex]r^3-5=59[/tex];
- para [tex]r=5, \, [/tex] temos [tex]r^3-5=120[/tex];
- para [tex]r=6, \, [/tex] temos [tex]r^3-5=211[/tex].
Perceba que, para todos os valores possíveis de [tex]r[/tex], o número [tex]r^3-5[/tex] não é um múltiplo de [tex]7[/tex], como deveria ser…
Logo, a equação original não possui soluções formadas por números naturais.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.