Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Sem o uso de calculadora, calcule o valor de [tex]\sqrt{4444488889}[/tex].
Extraído de Banco de Questões OBMEP.
Solução
Repare que:
[tex]\qquad 4444488889=4444444444+44444+1[/tex].
Agora, note que:
[tex]\qquad 4444444444=4\cdot 1111111111[/tex].
Como [tex]\underbrace{111\cdots11}_{n~uns}[/tex] é igual a [tex]\dfrac {10^{n}-1}{9}[/tex], temos que:
[tex]\qquad 4 \cdot 1111111111= 4 \cdot \left(\dfrac {10^{10}-1}{9}\right)[/tex].
De modo análogo:
[tex]\qquad 4 \cdot 11111= 4 \cdot \left(\dfrac {10^{5}-1}{9}\right)[/tex].
Assim,
[tex]\qquad 4444488889=4 \cdot \left(\dfrac {10^{10}-1}{9}\right)+ 4 \cdot \left(\dfrac {10^{5}-1}{9}\right) +\dfrac{9}{9}[/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1}{9} \cdot (4\cdot 10^{10} -4+4\cdot 10^{5} -4+9) [/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1}{9}\cdot(4 \cdot 10^{10}+ 4 \cdot 10^{5}+1)[/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1}{9}[(2 \cdot 10^{5} )^{2}+2 \cdot 2 \cdot 10^{5} \cdot1+1^{2}][/tex]
[tex]\qquad =\dfrac{1}{9} \cdot (2 \cdot10^{5}+1)^{2}[/tex]
[tex]\qquad = \left(\dfrac {2\cdot10^{5}+1}{3}\right)^{2}[/tex].
Portanto,
[tex]\qquad \sqrt{4444488889}=\sqrt{\left(\dfrac {2\cdot10^{5}+1}{3}\right)^{2}} =\dfrac {2\cdot10^{5}+1}{3}= \dfrac {200001}{3}=66667[/tex].
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