.Desafio: Qual é o maior?

Link do problema para dispositivos da Apple.

Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)

Qual número é maior:

$50^{99}~$ ou

$~99!$ ?

Lembrete

Desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica: Dados $n$ números inteiros positivos, é verdade que
$\qquad \dfrac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \cdots + x_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{x_{1} \cdot x_{2} \cdot x_{3} \cdots \cdot x_{n}}.$

Solução

Pela desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica citada no lembrete, temos:

$\quad \dfrac{1+2+3+⋯+98+99}{99}\geq \sqrt[99]{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 98 \cdot 99}.$
Mas sabemos que

$\quad \boxed{1+2+3+⋯+98+99= \dfrac {100 \cdot 99}{2}}~$ e

$~\boxed{\sqrt[99]{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 98 \cdot 99}=\sqrt[99]{99!}};$
assim, segue que:

$\quad \dfrac{\dfrac{100 \cdot 99}{2}}{99} \geq \sqrt[99]{99!}\\ ~~\\ \quad 50\geq \sqrt[99]{99!}\\ ~~\\ \quad 50^{99}\geq 99!.$

Portanto, $50^{99}$ é maior.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.