Problema
(Indicado a partir da 1º série do E. M.)
A figura indica uma sequência de polígonos regulares com número [tex]n[/tex] par de lados, cada um medindo [tex]2[/tex] cm. Cada polígono tem um lado sobre a reta [tex]r[/tex] e o lado oposto sobre uma reta paralela a [tex]r[/tex]. Estas retas paralelas a [tex]r[/tex] estão indicadas por [tex]t_{1}, t_{2}, t_{3}, \cdots[/tex].
Mantendo-se o padrão da sequência, calcule a distância entre as retas [tex]t_{23}[/tex] e [tex]t_{24}[/tex] em função de letras convenientemente selecionadas da tabela.
Adaptado de UNIFESP.
Solução
Note que os números de lados dos polígonos regulares formam uma progressão aritmética (P.A.):
[tex]\qquad (4,6,8, \cdots, a_{23},a_{24}).[/tex]
Sabemos que a fórmula para encontrar o n-ésimo termo de uma P.A. é dada por [tex]a_n=a_1+(n-1)\cdot r,[/tex] onde [tex]a_1[/tex] é o primeiro termo e [tex]r[/tex] é a razão (em caso de dúvidas, visite esta sala). Como o primeiro termo da P.A. é [tex]a_1=4[/tex] e a razão é [tex]r=2[/tex], podemos concluir que [tex]a_{23}=4+22\cdot 2=48[/tex] e [tex]a_{24}=4+23\cdot 2=50[/tex].
Imagine agora um polígono regular de [tex]n[/tex] lados, todos medindo [tex]2[/tex] cm, inscrito em uma circunferência de centro [tex]O[/tex].
Sendo [tex]A_{1}A_{2}[/tex] um dos lados desse polígono, podemos construir um triângulo isósceles com vértice no ponto [tex]O[/tex] e o terceiro lado sendo o lado do polígono escolhido. Note que a distância de uma reta [tex]t_{n}[/tex] à reta [tex]r[/tex] será de [tex]2h[/tex], onde [tex]h[/tex] é a altura desse triângulo relativa ao lado [tex]A_{1}A_{2}[/tex]. Como [tex]O[/tex] é o centro da circunferência, esse ponto também é o centro do polígono regular. Assim, o ângulo do vértice [tex]O[/tex] do triângulo [tex]OA_{1}A_{2}[/tex] mede [tex]\alpha= \dfrac{360^\circ}{n}[/tex].
Sendo [tex]M[/tex] o ponto médio do lado [tex]A_{1}A_{2}[/tex], como o triângulo [tex]OA_1A_2[/tex] é isósceles de base [tex]A_{1}A_{2}[/tex], [tex]OM[/tex] é também bissetriz. Assim, podemos construir os triângulos [tex]OMA_{1}[/tex] e [tex]OMA_{2}[/tex] retângulos em [tex]M[/tex] e congruentes. Logo, no triângulo [tex]OMA_{1},[/tex] o ângulo do vértice [tex]O[/tex] mede [tex]\dfrac{\alpha}{2}[/tex].
Dessa forma:
[tex]\qquad \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)=\dfrac{1}{h}[/tex]
[tex]\qquad h=\dfrac{1}{\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}.[/tex]
Assim, [tex]2h=\dfrac{2}{\tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)}[/tex] .
No polígono de [tex]48[/tex] lados, teremos:
[tex]\qquad 2h=\dfrac{2}{\tan\left(\dfrac{\dfrac{360^\circ}{48}}{2}\right)}=\dfrac{2}{\tan \; 3,75^\circ}.[/tex]
Pela tabela, encontramos que a distância de [tex]t_{23}[/tex] a reta [tex]r[/tex] é [tex]\dfrac{2}{x}[/tex].
De modo análogo, no polígono de [tex]50[/tex] lados, teremos:
[tex]\qquad 2h=\dfrac{2}{\tan\left(\dfrac{\dfrac{360^\circ}{50}}{2}\right)}=\dfrac{2}{\tan \; 3,6^\circ}.[/tex]
Pela tabela, encontramos que a distância de [tex]t_{24}[/tex] à reta [tex]r[/tex] é [tex]\dfrac{2}{t}[/tex].
Logo, a distância entre as retas [tex]t_{23}[/tex] e [tex]t_{24}[/tex] será dada por:
[tex]\qquad \dfrac{2}{t}-\dfrac{2}{x}.[/tex]
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