.Desafio: Hotel de Hilbert

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)

O Hotel de Hilbert é um famoso hotel que nunca deixou um viajante sem quarto!
Isso ocorre pois o hotel tem infinitos quartos e um engenhoso gerente.
Todos os quartos desse hotel são iguais e só é permitido hospedar um hóspede em cada quarto. Além disso, os quartos do hotel são numerados utilizando-se números inteiros positivos ([tex]1,~2,~3,~4,\ldots~[/tex]).

[tex]\textcolor{red}{\bullet}[/tex] Num certo dia, o Hotel de Hilbert estava com infinitos hóspedes e um turista, que não tinha feito reserva, chegou ao hotel e solicitou um quarto. Não sabendo como proceder, o recepcionista chamou o gerente.
O gerente solicitou que cada hóspede saísse do quarto em que estava e fosse para o quarto de numeração seguinte; ou seja, se um hóspede estava no quarto de número [tex]n[/tex], ele iria para o quarto [tex]n+1[/tex]. Por exemplo, se denotarmos por [tex]Q(n)[/tex] o número do quarto para onde iria o hóspede que anteriormente estava no quarto [tex]n[/tex], então:
[tex]\qquad Q(1)=2[/tex]; [tex]Q(2)=3[/tex]; [tex]Q(3)=4[/tex]; [tex]Q(4)=5[/tex]; [tex]Q(5)=6[/tex]; [tex]Q(6)=7[/tex]; [tex]Q(7)=8[/tex]; [tex].~.~.~[/tex]; [tex]Q(n)=n+1[/tex].
Dessa forma, o turista recém chegado pôde ser alojado no quarto número 1.

[tex]\textcolor{blue}{\bullet}[/tex] Em uma outra ocasião, chegou ao Hotel de Hilbert um ônibus com infinitos passageiros e o hotel já estava com infinitos hóspedes. Novamente o gerente foi requisitado para solucionar tamanho desafio!
Desta vez, o gerente solicitou que cada hóspede saísse do quarto em que estava e fosse para o quarto com numeração igual ao dobro da numeração do quarto que ele ocupava até aquele momento. Assim, se um hóspede estivesse no quarto [tex]n[/tex], ele passaria a ocupar o quarto [tex]2n[/tex]. Por exemplo,
[tex]\qquad Q(1)=2[/tex]; [tex]Q(2)=4[/tex]; [tex]Q(3)=6[/tex]; [tex]Q(4)=8[/tex]; [tex]Q(5)=10[/tex]; [tex]Q(6)=12[/tex]; [tex]Q(7)=14[/tex]; [tex].~.~.~[/tex]; [tex]Q(n)=2n[/tex].
Com isso, ficaram desocupados todos os quartos de numeração ímpar, suficientes para alojar os passageiros do ônibus, já que o passageiro da poltrona [tex]n[/tex] iria para o quarto [tex]2n-1[/tex].

[tex]\textcolor{green}{\bullet}[/tex] Neste momento, chegam ao Hotel de Hilbert, que mais uma vez está com infinitos hóspedes, infinitos ônibus com infinitos passageiros.
Como deve agir o gerente do hotel para alojar todos esses viajantes e manter a tradição do hotel de “nunca deixar um viajante sem quarto”?

Solução 1

Na solução deste problema, denotaremos por [tex]P_n[/tex] o “enésimo número primo”. Assim, por exemplo,
[tex]\qquad P_1=2[/tex], [tex]P_2=3[/tex], [tex]P_3=5[/tex], [tex]P_4=7[/tex], [tex]P_5=11[/tex], [tex]P_6=13[/tex], [tex]P_7=17[/tex], [tex]P_8=19[/tex],
e assim sucessivamente.
Vamos, então, à solução:

Para acomodar todos os infinitos passageiros dos infinitos ônibus, podemos passar os hóspedes do quarto [tex]n[/tex] para o quarto [tex]P_n[/tex] e, em seguida, podemos colocar o passageiro da poltrona [tex]m[/tex] do ônibus [tex]n[/tex] no quarto [tex]\left(P_n\right)^{m+1}[/tex]. Assim, por exemplo:

Pessoas já hospedadas: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{Q(1)=P_1=2\\ Q(2)=P_2=3\\ Q(3)=P_3=5\\ Q(4)=P_4=7\\ Q(5)=P_5=11\\ Q(6)=P_6=13\\ .~.~.~\\ Q(n)=P_n}[/tex]	Passageiros do ônibus 1: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{\text{poltrona 1}\mapsto \text{quarto}~2^2\\ \text{poltrona}~2\mapsto \text{quarto }2^3\\ \text{poltrona}~3\mapsto \text{quarto }2^4\\ \text{poltrona}~4\mapsto \text{quarto }2^5\\ \text{poltrona}~5\mapsto \text{quarto }2^6\\ \text{poltrona}~6\mapsto \text{quarto }2^7\\ \qquad .~.~.~\\ poltrona~m\mapsto \text{quarto }\left(P_1\right)^{m+1}}[/tex]	Passageiros do ônibus 2: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{\text{poltrona 1}\mapsto \text{quarto}~3^2\\ \text{poltrona}~2\mapsto \text{quarto }3^3\\ \text{poltrona}~3\mapsto \text{quarto }3^4\\ \text{poltrona}~4\mapsto \text{quarto }3^5\\ \text{poltrona}~5\mapsto \text{quarto }3^6\\ \text{poltrona}~6\mapsto \text{quarto }3^7\\ \qquad .~.~.~\\ poltrona~m\mapsto \text{quarto }\left(P_2\right)^{m+1}}[/tex]
Passageiros do ônibus 3: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{\text{poltrona 1}\mapsto \text{quarto}~5^2\\ \text{poltrona}~2\mapsto \text{quarto }5^3\\ \text{poltrona}~3\mapsto \text{quarto }5^4\\ \text{poltrona}~4\mapsto \text{quarto }5^5\\ \text{poltrona}~5\mapsto \text{quarto }5^6\\ \text{poltrona}~6\mapsto \text{quarto }5^7\\ \qquad .~.~.~\\ poltrona~m\mapsto \text{quarto }\left(P_3\right)^{m+1}}[/tex]	Passageiros do ônibus 4: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{\text{poltrona 1}\mapsto \text{quarto}~7^2\\ \text{poltrona}~2\mapsto \text{quarto }7^3\\ \text{poltrona}~3\mapsto \text{quarto }7^4\\ \text{poltrona}~4\mapsto \text{quarto }7^5\\ \text{poltrona}~5\mapsto \text{quarto }7^6\\ \text{poltrona}~6\mapsto \text{quarto }7^7\\ \qquad .~.~.~\\ poltrona~m\mapsto \text{quarto }\left(P_4\right)^{m+1}}[/tex]	Passageiros do ônibus 5: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{\text{poltrona 1}\mapsto \text{quarto}~11^2\\ \text{poltrona}~2\mapsto \text{quarto }11^3\\ \text{poltrona}~3\mapsto \text{quarto }11^4\\ \text{poltrona}~4\mapsto \text{quarto }11^5\\ \text{poltrona}~5\mapsto \text{quarto }11^6\\ \text{poltrona}~6\mapsto \text{quarto }11^7\\ \qquad .~.~.~\\ poltrona~m\mapsto \text{quarto }\left(P_5\right)^{m+1}}[/tex]
Passageiros do ônibus 6: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{\text{poltrona 1}\mapsto \text{quarto}~13^2\\ \text{poltrona}~2\mapsto \text{quarto }13^3\\ \text{poltrona}~3\mapsto \text{quarto }13^4\\ \text{poltrona}~4\mapsto \text{quarto }13^5\\ \text{poltrona}~5\mapsto \text{quarto }13^6\\ \text{poltrona}~6\mapsto \text{quarto }13^7\\ \qquad .~.~.~\\ poltrona~m\mapsto \text{quarto }\left(P_6\right)^{m+1}}[/tex]	Passageiros do ônibus 7: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{\text{poltrona 1}\mapsto \text{quarto}~17^2\\ \text{poltrona}~2\mapsto \text{quarto }17^3\\ \text{poltrona}~3\mapsto \text{quarto }17^4\\ \text{poltrona}~4\mapsto \text{quarto }17^5\\ \text{poltrona}~5\mapsto \text{quarto }17^6\\ \text{poltrona}~6\mapsto \text{quarto }17^7\\ \qquad .~.~.~\\ poltrona~m\mapsto \text{quarto }\left(P_7\right)^{m+1}}[/tex]	Passageiros do ônibus 8: [tex]\textcolor{#5CB3FF}{\text{poltrona 1}\mapsto \text{quarto}~19^2\\ \text{poltrona}~2\mapsto \text{quarto }19^3\\ \text{poltrona}~3\mapsto \text{quarto }19^4\\ \text{poltrona}~4\mapsto \text{quarto }19^5\\ \text{poltrona}~5\mapsto \text{quarto }19^6\\ \text{poltrona}~6\mapsto \text{quarto }19^7\\ \qquad .~.~.~\\ poltrona~m\mapsto \text{quarto }\left(P_8\right)^{m+1}}[/tex]
etc. [tex].~.~.~[/tex]

Observe que teríamos, então, todos os hóspedes e passageiros alojados e ainda sobrariam os infinitos quartos cujas numerações ao serem fatoradas apresentam mais de um fator primo; além, claro, do quarto número 1.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog

Solução 2

O vídeo abaixo apresenta uma segunda solução para o problema, além da encenação das duas situações iniciais citadas no enunciado. Vale a penas assistir!

É só clicar na telinha…
Bom proveito!