.Desafio: Determinando a função

Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)

[tex]\color{#800000}{(i)}[/tex] [tex] f(1)=1[/tex];
[tex]\color{#800000}{(ii)}[/tex] [tex]f(x)+5 \leq f(x+5)[/tex], para todo [tex]x \in \mathbb{R}[/tex];
[tex]\color{#800000}{(iii)}[/tex] [tex]f(x+1) \leq f(x)+1[/tex], para todo [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].

Sabendo que [tex]g(x)=f(x)+1-x[/tex], determine [tex]g(2017)[/tex].

Solução

Como
[tex]\quad g(2017)=f(2017)+1-2017=f(2017)-2016[/tex],
precisamos determinar [tex]f(2017)[/tex] para obtermos o valor de [tex]g(2017)[/tex].

Vamos lá?

Observe, inicialmente, que podemos reescrever a desigualdade [tex]\color{#800000}{(ii)}[/tex]:
[tex]\quad\boxed{ f(x)+5 \leq f(x+5)} \Longleftrightarrow \boxed{f(x)+1 \leq f(x+5)-4}[/tex];
e, portanto, se [tex]x[/tex] é um número real, segue que:
[tex]\qquad f(x)+1 \stackrel{\color{#800000}{(ii)}}\leq f(x+5)-4 = f((x+4)+1)-4 \stackrel{\color{#800000}{(iii)}}\leq f(x+4)+1-4=[/tex]
[tex]\qquad =f(x+4)-3 = f((x+3)+1)-3 \stackrel{\color{#800000}{(iii)}}\leq f(x+3)+1-3 = f(x+3)-2=[/tex]
[tex]\qquad = f((x+2)+1)-2 \stackrel{\color{#800000}{(iii)}}\leq f(x+2)+1-2 = f(x+2)-1=[/tex]
[tex]\qquad = f((x+1)+1)-1 \stackrel{\color{#800000}{(iii)}}\leq f(x+1)+1-1 = f(x+1)[/tex].
ou seja,
[tex]\qquad f(x)+1 \leq f(x+1)[/tex]. [tex]\color{#800000}{(iv)}[/tex].
Assim, por [tex]\color{#800000}{(iii)}[/tex] e [tex]\color{#800000}{(iv)}[/tex], [tex]\boxed{f(x+1) \leq f(x)+1} \, [/tex] e [tex] \, \boxed{f(x)+1 \leq f(x+1)}[/tex], donde [tex]f(x+1) \leq f(x)+1 \leq f(x+1)[/tex].
Mas sabemos que, de duas desigualdades da forma [tex]A \leq B \leq A[/tex], decorre a igualdade [tex]A =B[/tex]; portanto, de [tex]f(x+1) \leq f(x)+1 \leq f(x+1)[/tex], podemos concluir que:

[tex]f(x+1) = f(x)+1[/tex], para todo número real [tex]x[/tex].

Como [tex]f(1)=1[/tex], segue que:

• [tex]f(2)=f(1+1)=f(1)+1=1+1=2[/tex]
• [tex]f(3)=f(2+1)=f(2)+1=2+1=3[/tex]
• [tex]f(4)=f(3+1)=f(3)+1=3+1=4[/tex]

e assim por diante.
Em particular, [tex]f(2017)=2017[/tex] e, voltando ao início da discussão, finalmente concluímos que
[tex]\quad \qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \, g(2017)=f(2017)+1-2017=f(2017)-2016=2017-2016=1 \, $}\,.[/tex]

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