Clique no botão abaixo para visualizar o problema.
Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Que relações algébricas podemos deduzir a partir da imagem abaixo, na qual visualizamos dois retângulos iguais e dois quadrados não necessariamente iguais?
Você pode utilizar um APPLET para ajudar na solução do problema. É só clicar no botão abaixo!
Instruções:
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para transladar qualquer quadrilátero, clique sobre ele com qualquer botão do mouse, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no quadrilátero e fazer o movimento.)
(3) Para rodar qualquer quadrilátero, clique com qualquer botão do mouse sobre o vértice destacado, mantenha o mouse pressionado e rode-o. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no ponto e fazer o movimento.)
(4) Para modificar o comprimento dos lados de um dos quadrados, e os lados correspondentes dos retângulos, clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto a (ou b), mantenha o mouse pressionado e movimente-o horizontalmente.
(5) Para reiniciar o processo, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
(6) Você pode usar o aplicativo fora do Fórum dos Clubes, utilizando este link:
https://www.geogebra.org/m/q2xpbewh
É só copiar e usar!
(1) Espere o applet carregar. (O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)
(2) Para transladar qualquer quadrilátero, clique sobre ele com qualquer botão do mouse, mantenha o mouse pressionado e faça o movimento. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no quadrilátero e fazer o movimento.)
(3) Para rodar qualquer quadrilátero, clique com qualquer botão do mouse sobre o vértice destacado, mantenha o mouse pressionado e rode-o. (Se você estiver utilizando um celular ou um tablet, basta tocar levemente no ponto e fazer o movimento.)
(4) Para modificar o comprimento dos lados de um dos quadrados, e os lados correspondentes dos retângulos, clique com o botão esquerdo do mouse sobre o ponto a (ou b), mantenha o mouse pressionado e movimente-o horizontalmente.
(5) Para reiniciar o processo, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito do aplicativo.
(6) Você pode usar o aplicativo fora do Fórum dos Clubes, utilizando este link:
É só copiar e usar!
OBMEP_ srdg, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização da resposta;
mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.
Solução 1
– Se o comprimento do lado do quadrado menor é [tex]a[/tex], a sua área é dada por [tex]a \cdot a = a^2.[/tex]
– Se o comprimento do lado do quadrado maior de [tex]b[/tex], a sua área é dada por [tex]b \cdot b = b^2.[/tex]
– Os dois retângulos possuem lados medindo [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], logo suas áreas são dadas por [tex]ab.[/tex]
Podemos juntar os dois quadrados e os dois retângulos para formar um único quadrado de lados [tex]a+b[/tex], como mostrado na figura abaixo.
A aérea deste novo quadrado é dada por [tex](a+b) \cdot (a+b) = (a+b)^2[/tex]
Como formamos o quadrado de lado [tex](a+b)[/tex] utilizando as figuras mostradas no enunciado, a sua área será igual a soma da área de todas elas, ou seja:
[tex]\qquad (a+b)^2 = a^2 + b^2 + ab + ab[/tex]
[tex]\qquad \boxed{~(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}~.[/tex]
Assim, podemos notar que acabamos de fazer uma demonstração geométrica do produto notável do quadrado de uma soma!
COM Potências de Euler (EECIT Lynaldo Cavalcanti de Albuquerque – Patos, PB).
Equipe COM – OBMEP.
Solução 2
Vamos, agora, considerar [tex]a \gt b \gt 0[/tex]. Teremos, então um quadrado rosa maior do que o verde, mas as expressões das áreas se mantêm:
– O comprimento do lado do quadrado maior é [tex]a[/tex] e a sua área é [tex]a \cdot a = a^2.[/tex]
– O comprimento do lado do quadrado menor é [tex]b[/tex] e a sua área é [tex]b \cdot b = b^2.[/tex]
– Os dois retângulos possuem lados medindo [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] e suas áreas são [tex]ab.[/tex]
Vamos inserir os dois retângulos dentro do quadrado maior e calcular a área rosa que não ficou coberta. Observe a figura abaixo e note que essa região rosa é um quadrado de área [tex]\left(a-b\right)^2.[/tex]
Mas como calcular essa área utilizando os dois retângulos que a definiram?
Observe que a área do quadrado de área de [tex](a-b)^2[/tex] também pode ser assim calculada:
– Partimos da área total do quadrado original rosa ([tex]a^2[/tex]).
– Retiramos duas vezes a área do retângulo ([tex]a\cdot b[/tex]).
– Como a área correspondente ao quadradinho rosa de lado [tex]b[/tex] está sendo retirada duas vezes pela operação anterior, adicionamos o quadradinho verde na construção geométrica, para que as relações algébricas fiquem corretas.
Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad \left(a-b\right)^2=a^2-a\cdot b-a\cdot b+b^2\\
\qquad \boxed{~\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2}~.[/tex]
O que fizemos agora foi uma demonstração geométrica do produto notável do quadrado de uma diferença!
COM Potências de Euler (EECIT Lynaldo Cavalcanti de Albuquerque – Patos, PB).
Equipe COM – OBMEP.