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Problema
(Indicado a partir do 1ª série do E. M.)
Mostre que para qualquer número inteiro [tex]n[/tex] a expressão [tex]n^{3}+3n^{2}+5n+3[/tex] sempre será divisível por [tex]3[/tex].
Extraído de Lidski.
Lembrete
Em um produto com três números inteiros consecutivos, podemos garantir que um dos fatores é divisível por [tex]3[/tex].
Solução
Para um número inteiro [tex]n[/tex], seja [tex]E=n^{3}+3n^{2}+5n+3[/tex] e observe que:
- A expressão [tex]E=n^{3}+3n^{2}+5n+3[/tex] pode ser escrita como [tex]E=n^{3}+3n^{2}+2n+3n+3[/tex].
- Colocando o fator [tex]n[/tex] em evidência nas três primeiras parcelas de [tex]E[/tex] e o [tex]3[/tex] nas duas últimas, obtemos
[tex]\qquad E= n\cdot(n^{2}+3n+2)+3\cdot(n+1)[/tex] - Podemos, ainda, fatorar o polinômio do segundo grau [tex]n^{2}+3n+2[/tex] na forma [tex](n+1)\cdot (n+2)[/tex]. Assim, temos:
[tex]\qquad E=n\cdot(n+1)\cdot(n+2)+3\cdot(n+1)[/tex]
Nessa última forma da expressão [tex]E[/tex], chegamos a uma soma na qual a primeira parcela é um produto de três números inteiros consecutivos: claramente a segunda parcela é divisível por três e, pelo Lembrete, podemos concluir que a primeira parcela também o é.
Portanto, como a soma de dois inteiros divisíveis por [tex]3[/tex] é também divisível por [tex]3[/tex] (Consegue verificar isso?), concluímos que para qualquer inteiro [tex]n[/tex] a expressão [tex]E[/tex] é divisível por [tex]3[/tex].
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