Clique no botão abaixo para visualizar o problema.
Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Os baralhos comuns são compostos de [tex]52[/tex] cartas divididas em quatro naipes, denominados copas, espadas, paus e ouros, com treze cartas distintas de cada um deles. Observe a figura que mostra um desses baralhos, no qual as cartas representadas pelas letras A, J, Q e K são denominadas, respectivamente, ás, valete, dama e rei.
Uma criança rasgou algumas cartas desse baralho, e as [tex]n[/tex] cartas não rasgadas foram guardadas em uma caixa.
A tabela abaixo apresenta as probabilidades de retirar-se dessa caixa, ao acaso, algumas cartas:
\mathrm{Carta} & \mathrm{Probabilidade }\\ \hline
\mathrm{um \ rei} & 0,075 \\ \hline
\mathrm{uma \ carta \ de \ copas} & 0,25 \\ \hline
\mathrm{uma \ carta \ de \ copas \ ou \ rei} & 0,3 \\ \hline
\end{array}
[/tex]
Calcule o valor de [tex]n[/tex].
Extraído de Matemática. Volume único. Iezzi, etc.
Solução
Consideremos os seguintes eventos aleatórios:
[tex]\qquad \rhd[/tex] Evento A: retirar um rei.
[tex]\qquad \rhd[/tex] Evento B: retirar uma carta de copas.
A probabilidade da união [tex]A \cup B[/tex] destes dois eventos é dada por
[tex]\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)[/tex];
assim, utilizando as informações contidas na tabela, segue que:
[tex]\qquad P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)[/tex]
[tex]\qquad P(A\cap B)=0,075+0,25-0,3=0,025.[/tex]
Agora, vamos nos lembrar da definição de probabilidade em espaços equiprováveis: número de casos favoráveis/ número de casos possíveis (para um estudo mais detalhado sobre probabilidades visite esta Sala); assim, segue que:
[tex]\qquad P(A\cap B)=\dfrac{\#(A\cap B)}{n}=0,025,[/tex]
sendo que o símbolo [tex]\#[/tex] está sendo usado para denotar o número de elementos de um conjunto.
Como existe apenas um rei de copas, temos que [tex]\#(A\cap B)=1[/tex] ou [tex]\#(A\cap B)=0[/tex], dependendo se a criança tiver rasgado o rei de copas.
Entretanto, [tex]\#(A\cap B)=0[/tex] não é possível pois, neste caso, a probabilidade de se retirar um rei de copas seria nula, mas sabemos que [tex]P(A\cap B)=0,025\ne 0[/tex].
Logo, [tex]1/n=0,025[/tex] e, portanto, [tex]n=40[/tex].
Como o baralho tem [tex]52[/tex] cartas, foram rasgadas [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12$}[/tex] cartas.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.