(A) Problemão: Ali Babão e a Trigésima Sexta de suas Quarenta Equações

Problema
(Indicado a partir da 1ª série do E.M.)

---

Resolva a equação [tex]1+\sqrt{3^{x}}=2^{x}[/tex].

Solução

---

Como [tex]2^{x}[/tex] é um número não nulo, podemos usá-lo para dividir toda a equação.
Assim, temos:
[tex]\qquad \dfrac{1}{2^{x}}+\dfrac{\sqrt{3^{x}}}{2^{x}}=\dfrac{2^{x}}{2^{x}}\\
\qquad \dfrac{1}{2^{x}}+\dfrac{\sqrt{3^{x}}}{2^{x}}=1.[/tex]
Podemos ainda, utilizando as propriedades de potências, escrever:
[tex]\qquad \left( \dfrac{1}{2} \right) ^{x}+\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{x}=1.[/tex]
Agora, lembre-se de que:
[tex]\qquad \boxed{\text{sen}\; 30 ^\circ =\dfrac{1}{2}}[/tex], [tex]\boxed{\text{cos}\; 30 ^\circ =\dfrac{\sqrt{3}}{2}}[/tex] e [tex]\boxed{\text{sen}^{2} \alpha + \text{cos}^{2}\alpha = 1}. [/tex]
Substituindo as duas primeiras informações na última igualdade, obtemos:
[tex]\qquad \left(\text{sen}\;30^\circ\right)^{x} + \left(\text{cos}\;30^\circ \right) ^{x} = 1[/tex]
e, pela relação fundamental trigonométrica, podemos afirmar que [tex]\boxed{x=2}.[/tex]

Para finalizar, uma importante observação é que essa solução é única!
Vejamos:

• Note que se [tex]x\gt 2[/tex], então [tex]\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{x} \lt \dfrac{1}{4}[/tex], [tex]\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{x} \lt \dfrac{3}{4}[/tex] e, portanto, [tex] \dfrac{1}{2^{x}}+\dfrac{\sqrt{3^{x}}}{2^{x}}\lt \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1.[/tex] Então:
  [tex]\qquad \left( \dfrac{1}{2} \right) ^{x}+\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{x}\textcolor{red}{\lt} 1.[/tex]
• De modo análogo, se [tex]x\lt 2[/tex], então [tex]\left( \dfrac{1}{2} \right) ^{x} \gt \dfrac{1}{4}[/tex] e [tex]\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{x} \gt \dfrac{3}{4}[/tex] e, portanto, [tex] \dfrac{1}{2^{x}}+\dfrac{\sqrt{3^{x}}}{2^{x}}\gt \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=1.[/tex] Neste caso:
  [tex]\qquad \left( \dfrac{1}{2} \right) ^{x}+\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{x}\textcolor{red}{\gt}1.[/tex]

---

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.