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Problema
(Indicado a partir da 2ª série do E. M.)
Um vendedor de sucos naturais arrecadou, em certo mês, uma média diária de [tex]R\$ \ 180,00[/tex], vendendo cada copo de suco por um determinado preço.
No mês seguinte, aumentou o preço em [tex]R\$ \ 0,50[/tex] por copo e vendeu uma média de [tex]18[/tex] unidades a menos por dia; mas a arrecadação média diária foi a mesma.
Determine o preço e o número de copos de suco vendidos por dia no primeiro mês.
Extraído de Matemática. Volume único. Iezzi, etc. .
Solução
- Vamos denotar por [tex]p[/tex] o preço, em reais, do copo de suco natural no primeiro mês e por [tex]n[/tex] o número médio diário de copos de suco vendidos.
Como a arrecadação diária média foi de [tex]R\$ \ 180,00[/tex], então [tex]\boxed{180=p\cdot n}.[/tex]
Para o segundo mês o preço passou a ser [tex]p+0,5[/tex] e a média diária de copos de suco vendidos foi de [tex]n-18[/tex]. Como a arrecadação média diária se manteve, temos [tex]\boxed{180=(p+0,5)\cdot (n-18)}.[/tex]
Da primeira igualdade encontramos que [tex]n=\dfrac{180}{p}[/tex]. Substituindo esta expressão para [tex]n[/tex] na segunda igualdade, segue que:
[tex]\quad 180=(p+0,5)\left(\dfrac{180}{p}-18\right)\\
\quad 180=180-18p+\dfrac{90}{p}-9\\
\quad 0=-18p+\dfrac{90}{p}-9.[/tex]
Multiplicando ambos os membros da última igualdade por [tex]\dfrac{p}{9}[/tex], obtemos a equação do segundo grau [tex]\boxed{-2p^2-p+10=0}.[/tex] Aplicando nela a fórmula resolutiva da equação do segundo grau obtemos
[tex]\quad p=\dfrac{1\pm \sqrt{1+4\cdot 2 \cdot 10} }{-4}=\dfrac{1\pm \sqrt{81} }{-4},[/tex]
o que nos fornece duas raízes: [tex]p_1=-2,5~[/tex] e [tex]~p_2=2.[/tex]
Como o valor do copo de suco deve ser positivo, temos [tex]p=2[/tex]; e como [tex]n=\dfrac{180}{p}[/tex], segue que [tex]n=90.[/tex]
Portanto, o preço do copo de suco era [tex] R\$ \ 2,00[/tex] no primeiro mês e a média diária de copos de suco vendidos naquele mês foi de [tex]90[/tex] copos.
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