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Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
O Sistema Elo é um método utilizado para se calcular a força de um jogador de xadrez, tênis, etc., em relação a outros jogadores. Foi inventado pelo físico e mestre de xadrez americano Arpad Elo.
Neste sistema, se [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] são dois jogadores com forças medidas pelos números [tex]R_A[/tex] e [tex]R_B[/tex], respectivamente, o número [tex]E_{AB}[/tex], dado por
[tex]\qquad E_{AB}=\dfrac{1}{1+10^{R_B-R_A}},[/tex]
mede o favoritismo do jogador [tex]A[/tex] em relação ao jogador [tex]B[/tex].
É fácil verificar que [tex]0\lt E_{AB}\lt 1[/tex]. Quanto mais próximo de [tex]1[/tex] estiver o valor [tex]E_{AB}[/tex], mais favorito o jogador [tex]A[/tex] será em um confronto com o jogador [tex]B[/tex].
Sabendo-se que no confronto entre dois jogadores [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], com forças medidas pelos números [tex]R_A[/tex] e [tex]R_B[/tex], respectivamente, temos [tex]E_{AB}=0,63[/tex], calcule o valor [tex]E_{BA}[/tex].
Solução
Pelo enunciado sabemos que os jogadores [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] possuem forças [tex]R_A[/tex] e [tex]R_B[/tex] e que
[tex]\quad E_{AB}=\dfrac{1}{1+10^{R_B-R_A}}=0,63[/tex];
mas estamos interessados em calcular o valor de
[tex]\quad E_{BA}=\dfrac{1}{1+10^{R_A-R_B}}.[/tex]
Observem que podemos multiplicar o numerador e o denominador da última igualdade por [tex]10^{R_B}[/tex] e obter
[tex]\quad \begin{align*}E_{BA}&=\dfrac{1}{1+10^{R_A-R_B}}=\dfrac{10^{R_B}}{10^{R_B}+10^{R_A}}\\
&=\dfrac{10^{R_B}+10^{R_A}-10^{R_A}}{10^{R_B}+10^{R_A}}\\
&=1-\dfrac{10^{R_A}}{10^{R_B}+10^{R_A}} \\
&=1-\dfrac{1}{10^{R_B-R_A}+1}\\
&=1-E_{AB}\\
&=1-0,63=0,37.\end{align*}[/tex]
Assim, [tex]\boxed{E_{BA}=0,37}.[/tex]
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