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Problema
(Indicado a partir da [tex]7^\circ[/tex] Série do E. F.)
Um frasco do medicamento [tex]A[/tex] tem [tex]153[/tex] comprimidos e um frasco do medicamento [tex]B[/tex] tem [tex]192[/tex] comprimidos. José do Ença deve tomar [tex]4[/tex] comprimidos por dia do medicamento [tex]A [/tex] e [tex]3[/tex] por dia do [tex]B[/tex], em dias alternados, iniciando pelo [tex]A[/tex], ou seja, ele tomará [tex]4[/tex] comprimidos do [tex] A[/tex] no primeiro dia, [tex]3[/tex] do [tex]B[/tex] no segundo, [tex]4[/tex] do [tex]A [/tex] no terceiro, etc.
(a) Após quantos dias do início do tratamento terminará o primeiro frasco do medicamento [tex]B[/tex]?
(b) Um frasco destes medicamentos, tanto [tex]A[/tex] quanto [tex]B[/tex], demora [tex]2[/tex] dias para chegar à casa de José. A partir do início do tratamento, depois de quantos dias, no máximo, ele deverá solicitar um novo frasco de medicamento, para não correr o risco de ficar sem?
Extraído de XXIII Olimpíada Paulista de Matemática .
Solução
(a) Observem que, como [tex]192=3\times 64[/tex], vemos que o primeiro frasco do medicamento [tex]B[/tex] possui comprimidos suficientes para [tex]64[/tex] ingestões de [tex]3[/tex] comprimidos.
Como José está tomando esse medicamento em dias alternados, os comprimidos da primeira ingestão serão tomados no dia [tex]2[/tex], os comprimidos da segunda ingestão no dia [tex]4[/tex], os da terceira no dia [tex]6[/tex] e, assim por diante, até que os comprimidos da ingestão de número [tex]64[/tex] serão tomados no dia de número [tex]128[/tex]. Podemos concluir que após [tex]128[/tex] dias o primeiro frasco do medicamento [tex]B[/tex] irá terminar.
(b) Já sabemos que o medicamento [tex]B[/tex] durará [tex]128[/tex] dias. Passamos agora a calcular quantos dias durará o frasco do medicamento [tex]A[/tex]. Como [tex]153=38\cdot 4+1[/tex], concluímos que um frasco do medicamento [tex]A[/tex] possui comprimidos suficientes para [tex]38[/tex] ingestões de [tex]4[/tex] comprimidos e sobrará um comprimido.
Observe que os comprimidos da primeira ingestão serão tomados no dia [tex]1[/tex], os comprimidos da segunda ingestão no dia [tex]3[/tex], da terceira no dia [tex]5[/tex] e, assim por diante, até que os comprimidos da ingestão de número [tex]38[/tex] serão tomados no dia de número [tex]2\cdot 38-1=75[/tex]. Podemos concluir que após [tex]75[/tex] dias o primeiro frasco do medicamento [tex]A[/tex] irá terminar (sobrando um comprimido, o que não é suficiente para outra dose). Assim, o medicamento [tex]A[/tex] terminará primeiro e, levando-se em consideração os dois dias necessários para a entrega, no máximo [tex]75[/tex] dias após o início do tratamento ele deverá solicitar um novo frasco do medicamento [tex]A[/tex], pois este chegará no dia de número [tex]77[/tex] (no dia de número [tex]76[/tex] ele irá tomar o medicamento [tex]B[/tex]).
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.