(A) Problema para ajudar na escola: Uma sequência compriiiiiiiiida…

Problema
(A partir do 9º ano do E. F.) (Nível: Difícil)

$\qquad \qquad \,2\,3\,4\,6\,6\,9\,9\,2\,1\,1\,5\,1\,3\,8\,1\,6\,1 \cdots$

Qual é o dígito que ocupará a posição $1500$ na sequência que escrevemos?

Solução

• Perceba que temos apenas quatro múltiplos de $23$ com dois dígitos:
  $\qquad \boxed{23}= 23 \times 1$ ; $\boxed{46}= 23 \times 2$ ; $\boxed{69}= 23 \times 3$ ; $\boxed{92}= 23 \times 4$ .
  Assim, ao escrevermos os quatro primeiros múltiplos de $23$, escreveremos os $4 \times 2=8$ primeiros termos da sequência.

• Prosseguindo, podemos observar que existem $39$ múltiplos de $23$ com três dígitos:
  $\qquad \boxed{115}= 23 \times 5$ ; $\boxed{138}= 23 \times 6$ ; $\boxed{161}= 23 \times 7 ; \cdots; \boxed{989}= 23 \times 43$ .
  Agora, ao escrevermos esses trinta e nove múltiplos de $23$, escreveremos os próximos $39 \times 3=117$ termos da sequência.

Com isso, de $23$ a $989\,$, teremos escrito $8+117=125$ termos da sequência:
$\qquad \underbrace{23466992115138161 \cdots 989}_{\text{125 termos da sequência}}$
Até agora, escrevemos $125$ dos $1500$ termos; assim, precisamos de mais $1500-125=1375$ termos:
$\qquad \underbrace{23466992115138161 \cdots 989}_{\text{125 termos da sequência}}\,\underbrace{\boxed{\, }\boxed{\, }\boxed{\, }\cdots\boxed{\, }}_{1375\, termos}$.
Quantos múltiplos de $23$ serão necessários para que seus algarismos preencham esses $1375$ espaços?
Vejamos…
Os próximos múltiplos de $23$ terão quatro algarismos, então vamos fazer a divisão de $1375$ por $4$:

Assim, precisaremos de $343$ múltiplos de $23$ com quatro algarismos cada e ainda utilizaremos os três primeiros dígitos do próximo múltiplo:
$\qquad \underbrace{23466992115138161 \cdots 989}_{\text{125 termos da sequência}}\, \underbrace{\boxed{\underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }}\, \boxed{\underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }}\, \boxed{\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }}\ldots\boxed{\underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }\, \underline{\, }}}_{343 \text{ números com 4 algarismos}}\, \underline{\, }\underline{\, }\underline{\, }$
O nosso próximo passo será determinar quais são os múltiplos de $23$ de quatro algarismos que serão utilizados.
O último múltiplo de $23$ utilizado na sequência foi $989,\,$ e $989= 23 \times 43$; então, os próximos serão:

• $23 \times (43+1)= 23 \times 44=1012\, \,$ ; $\, \, 23 \times (43+2)= 23 \times 45=1035\, \,$ e $\, \, 23 \times (43+3)= 23 \times 46=1058$

e os últimos múltiplos que utilizaremos serão:

• $23 \times (43+343)=23 \times 386=8878\, \,$ e $\, \, 23 \times (43+344)=23 \times 387=8901$.

Observem o esqueminha:
$\qquad \underbrace{23466992115138161 \cdots 989}_{\text{125 termos da sequência}}\, \underbrace{\, \boxed{\, 1012\, }\, }_{23 \times (43+1)}\, \underbrace{\, \boxed{\, 1035\, }\, }_{23 \times (43+2)}\, \underbrace{\, \boxed{\, 1058\, }\, }_{23 \times (43+3)}\cdots\underbrace{\, \boxed{\, 8878\, }\, }_{23 \times (43+343)}890$

Portanto, o dígito que ocupará a posição $1500$ na sequência que formamos será o $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$}\, .$

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.