(A) Problema para ajudar na escola: MMC e MDC

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Problema
(A partir do 8º ano do E. F.- Nível de dificuldade: Fácil)

Calcule o quociente

$\boxed{ \dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}}$ , sabendo-se que

$\,\,\\ \qquad \bullet \,\, a=2^n \cdot 3^{n+1} \cdot 11$
e

$\qquad \bullet \,\, b=2^{n+1} \cdot 3^n \cdot 5\,$ ,

para algum número natural $n$ .

Solução

Dados dois números naturais

$a$ e

$b$ , como neste problema, podemos encontrar o

$mmc(a,b)$ e o

$mdc(a,b)$ a partir da decomposição de cada um em fatores primos, lembrando que:

o $mmc(a,b)$ é o produto de todos os fatores, comuns e não comuns, que aparecem nas respectivas decomposições, cada fator elevado ao maior expoente com que aparece nessas decomposições.
o $mdc(a,b)$ é o produto de todos os fatores comuns que aparecem nas respectivas decomposições, cada fator elevado ao menor expoente com que aparece nessas decomposições.

Assim, como $n \lt n+1$ , segue que:

$\qquad \dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}=\dfrac{2^{n+1} \cdot 3^{n+1} \cdot 5^1 \cdot 11^1}{2^n \cdot 3^n }=\dfrac{\left(2\cdot 2^{n}\right) \cdot \left(3 \cdot 3^{n}\right) \cdot 5 \cdot 11}{2^n \cdot 3^n }$

$\qquad \dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}=\dfrac{2\cdot \cancel{2^{n}} \cdot 3 \cdot \bcancel{3^{n}} \cdot 5 \cdot 11}{\cancel{2^n} \cdot \bcancel{3^n}}=2\cdot 3\cdot\ 5\cdot 11$
$\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{mmc(a,b)}{mdc(a,b)}=330$}\,$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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