(A) Problema para ajudar na escola: Gatos X Ratos

Problema
(A partir do 7º ano do E. F.)

Em um galpão havia apenas gatos e ratos, na proporção de $3$ gatos para cada $5$ ratos, totalizando $56$ animais.
Em um dado momento, cada gato come exatamente um rato.
Quantos ratos sobreviveram?

Solução 1

Sejam $g \,$ o número de gatos e $\, r \,$ o número de ratos que estavam no galpão.
Assim, $g+r=56$ e $\boxed{g=56-r} \, \quad \textcolor{#800000}{(i)}.$
Como a proporção de animais era de $3$ gatos para cada $5$ ratos, então $\boxed{\dfrac{g}{r}=\dfrac{3}{5}}\quad \textcolor{#800000}{(ii)}.$
Substituindo $\textcolor{#800000}{(i)}$ em $\textcolor{#800000}{(ii)}$, segue que:
$\quad \dfrac{\textcolor{red}{g}}{r}=\dfrac{3}{5}$

$\quad \dfrac{\textcolor{red}{56-r}}{r}=\dfrac{3}{5}$
$\quad 5\times (56-r)=3\times r$
$\quad 280-5r=3r$
$\quad 280=3r+5r$
$\quad 280=8r$
$\quad r=\dfrac{280}{8}$
$\quad \boxed{r=35} \, .$
Substituindo $r=35$ em $\textcolor{#800000}{(i)} \,$, concluímos que $\boxed{g=21} \, .$
Pelo exposto, havia $21$ gatos e $35$ ratos no galpão; portanto, como cada gato comeu exatamente um rato, sobreviveram $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$35-21=14$} \,$ ratos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Solução 2

• Como no galpão havia gatos e ratos na proporção de $3$ gatos para cada $5$ ratos, vamos formar grupos de oito animais: $3$ gatos e $5$ ratos.
  O total de animais no galpão era $56$; portanto, são $56\div 8=7$ os grupos formados.
• Sabemos que cada gato come um rato; assim, podemos pensar que vão sobrar $5-3=2$ ratos em cada grupo que formamos.

Como foram formados $7$ grupos, sobreviveram $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7 \times 2=14$} \,$ ratos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.