(A) Problema para ajudar na escola: Duas figuras

Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)

Sejam $x$ e $y$ números reais positivos.
Que produto notável cada figura abaixo sugere?

(a)

(b)

Solução

(a) Observe que podemos decompor a área $x^2$ do quadrado externo como soma das áreas $A_1$ , $A_2$ e $A_3$ mostradas na figura abaixo.

Assim, segue que:
$\qquad x^2=A_1+A_2+A_3$
$\qquad x^2=\left(x-y\right)\cdot y+y^2+\left(x-y\right)\cdot x$
$\qquad x^2-y^2=\left(x-y\right)\cdot y+\left(x-y\right)\cdot x$
$\qquad x^2-y^2=\left(x-y\right)\cdot x+\left(x-y\right)\cdot y$
$\qquad x^2-y^2=\left(x-y\right)\cdot \left(x+y\right)$
Dessa forma, a figura exibida no item (a) mostra geometricamente o produto notável “diferença de quadrados“:

• $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ x^2-y^2=\left(x-y\right)\cdot \left(x+y\right)$}$ .

(b) Para este item, vamos decompor a área $\left(x+y\right)^2$ do quadrado externo como soma das áreas $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ e $A_4$ mostradas na figura abaixo.

Assim, temos que:

$\qquad \left(x+y\right)^2=A_1+A_2+A_3+A_4$
$\qquad \left(x+y\right)^2=x\cdot y+y^2+x\cdot y+x^2$
$\qquad \left(x+y\right)^2=2x\cdot y+y^2+x^2$
$\qquad \left(x+y\right)^2=x^2+2x\cdot y+y^2$
Dessa forma, a figura exibida no item (b) mostra geometricamente o produto notável “quadrado da soma“:

• $\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ \left(x+y\right)^2=x^2+2x\cdot y+y^2 $}$ .

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.